Bestimmen Sie x aus folgender Gleichung mit Brüchen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie \( x \) aus folgender Gleichung:

\( \frac{2 a^{2}-1}{a x+x^{2}}+\frac{x-2 a}{a+x}=\frac{x^{2}}{a x+x^{2}}-\frac{x-a}{x} \)

Lösung:

Der Hauptnenner lautet \( \quad x(a+x)=a x+x^{2} \quad \) und es folgt nach Multiplikation:

\( \begin{array}{l} \left(2 a^{2}-1\right)+\left(x^{2}-2 a x\right)=x^{2}-(x-a)(a+x) \\ x^{2}-2 a x+2 a^{2}-1=x^{2}-x^{2}+a^{2} \quad 1-a^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}-1=0 \\ x_{1,2}=a \pm \sqrt{a^{2}-a^{2}+1} \\ x_{1}=a+1 \text { und } x_{2}=a-1 \end{array} \)

Answer 1

Der Hauptnenner muß ein Term sein der sich durch alle Nenner-Terme
teilen läßt

Beginn
x * ( a + x ) : dieser läßt sich durch
x
und durch
( a + x )
teilen.

Ausmultipliziert ergibt sich
ax * x^2

Dies sind genau die anderen beiden Nenner-Terme.
Wir sind also bei der Bestimmung des  Hauptnenners
schon da wo wir hinwollen.

Wo hast du weitere Schwierigkeiten ?

Comments

g> meinst du vielleicht ausmultipliziert ergibt sich ax + x^2 ?

> dann steht da ja es folgt nach multiplikation :

( 2a^2 -1) ( das ist ja der zähler des 1. bruches )+ ( x^2 -2ax) wie kommt der zustande und der term nach dem = zeichen?

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Das Ganze nennt man erweitern

2.Term mit x
( x- 2a ) * x      x^2 - 2ax
--------------  = -----------
( a + x ) * x      ax + x^2

4.Term mit ( a + x )
( x - a ) * ( a+ x )       ( x - a ) * ( a + x )
---------------------  = ----------------------
x * ( a + x )                     ax + x^2

Damit wären alle 4 Terme auf denselben Nenner gebracht
und der Nenner kann wegfallen

a / k + c / k = b / k + d / k
a + c = b + d

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Das fehlte mir danke !

Aber eines noch : der  letzte Schritt ist mir noch unklar . Was passierte ab

X^2 - 2ax + a^2 -1 = 0 ?

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X² - 2ax + a² -1 = 0 ? 

x² - 2ax + a²  = 1   | die linke Seite ist die 2.binomische Formel
( x - a)^2 = 1  | Wurzelziehen
x - a = ± √ 1
x = ± 1 + a

x = a + 1
x = a - 1