Wieso wird ln (x+1) zu ln (1/(x+1))?

Question

Ich fasse im Moment
ln (x²-1) - ln (x+1) - ln(x+1)² zu einem Logarithmus zusammen.

Der nächste Schritt wäre:

ln (x²-1) + ln (1/(x+1)) + ln (1/(x+1)²)

Wieso ändern sich die Vorzeichen und wieso werden die zwei letzten Funktionen zu einem Bruch?

Der nächste Zwischenschritt wäre:

ln [(x² -1) * 1/(x-1) * 1/(x+1)²]

Nun verstehe ich bei der zweiten Funktion den Vorzeichenwechsel von x+1 zu x-1 nicht.

Das Ergebnis ist - ln (x+1)

Gibt es eine einfachere Möglichkeit auf dieses Ergebnis zu kommen? Ich verstehe den Lösungsansatz vom Dozenten nicht.

Würde mich über eine verständliche Lösung oder Erklärung freuen.

Answer 1

Das sind einfach nur die Logarithmus Rechenregeln.

Du kennst ja bestimmt.

ln(a)+ln(b) = ln (a*b)

und

ln(a)-ln(b) = ln(a/b)

Wenn du die Zweite umformst, also wenn du statt einer Division ,eine Multiplikation mit einem Bruch schreibst und wieder auseinanderziehst mit Hilfe der Ersten, siehst du es :

ln(a)-ln(b) = ln(a/b) = ln(a * 1/b ) = ln(a) +ln(1/b)

Comments

also kann ich gleich von der Anfangsgleichung: 

ln (x²-1) - ln(x-1) - ln(x+1)²

zu

ln [ (x²-1) / (x-1)* (x+1)² ]

springen und mir die unnötigen Zwischenschritte sparen, so wie es der Dozent gemacht hat.

So würde ich es verstehen.


Vielen Dank :)

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Ja generell schon.

Ich weiß ja nicht,ob ihr das bei euch schon bewiesen habt,sodass ihr das Anwenden dürft.

Answer 2

ln (x²-1) - ln(x-1) - ln(x+1)²

Zunächst
ln (x²-1) - ln(x-1)
ln ( ( x^2 - 1 ) / ( x- 1) ) | ich würde teilen, 3.binomische Formel
ln ( x-+1  )

Dann
ln ( x-+1  ) - ln [ ( x + 1)^2 ]
ln ( ( x + 1 ) / [ ( x + 1)^2 ]
ln ( 1 / ( x + 1 )
ln ( ( x + 1 )^{-1} )

- ln ( x + 1 )