Wie führt man eine PDGL mittels Substitution in eine gew. DGL über?

Question

Heyho,

unzwar hab ich gerade einige Verständnisprobleme beim überführen von partiellen DGL's in gewöhnliche DGL's mittels Substitution,

kleines Beispiel:  z_xy + z_x = xy

mittels   p=z_x    in gewöhnliche DGL überführen.

Könnte mir jemand an diesem Beispiel zeigen wie man grundlegend bei solchen Aufgaben vorgeht? =)

Liebe Grüße 

Answer 1

Du setzt p=z_x dann ist z_xy=p_y Nun nimmst Du diese Substitution und setzt in die PDGL ein:

p_y+p=xy

p ist hierbei nur von y abhängig es ist also

p'(y) + p(y) = xy

Das löst Du nun als gewöhnliche DGL... Es ist

p(y)=x(y-1)

Da nun p = z_x war, finden wir z nach Integration von p nach x, also

z(x,y)=∫p(y)dx=∫ x(y-1) dx=(y-1)∫ x dx=0,5x^2(y-1)

Zur Kontrolle bilde davon z_x und z_xy und setze in die DGL ein....