Vektor w so bestimmen, dass Vektoren u, w Orthonormalbasis bilden

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Vektor \( w \), so dass \( u, w \) eine Orthonormalbasis des Raums \( \operatorname{span}\{u, v\} \) bilden, wobei \( u=\frac{1}{\sqrt{50}}\left(\begin{array}{l}5 \\ 0 \\ 5\end{array}\right) \) und \( v=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \)

\( \begin{array}{l} \tilde{w}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)-\frac{1}{50}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 5 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{l} 5 \\ 0 \\ 5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \\ w=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \end{array} \)

Ansatz/Problem:

Diese Lösung/Rechenweg ist richtig, habe ich aber erst hingekriegt, als wir das Endergebnis bekommen haben. Ich hatte vorher statt der 1/50 die 1/√50 eingesetzt. Warum fällt die Wurzel da weg? Wurde die -1/√50 etwa quadriert?

Answer 1

Hi,

das liegt daran, dass da eigentlich steht:

$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} - \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{50}} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \right)\cdot \frac{1}{\sqrt{50}} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$$

Gruß

Comments

Achso, danke.
Wäre der Vorfaktor also bspw 1/4 oder -1/4, könnte man den auch (in beiden Fällen) als 1/16 "zusammenfassen" und davor (wo jetzt  1/50 steht) schreiben? Also (1,1,3) - 1/16 (... ?
Und falls der v-Vektor auch einen Vorfaktor hätte, würde man ihn doch einfach beides mal vor den (1,1,3) Vektor schreiben, oder? Also bspw -1/6 (1,1,3) - ( -1/6 (1,1,3) ...

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Ja, wobei man den Faktor von v  dann auch aus der Skalarmultiplikation ziehen könnte.

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Danke für die fixe Antwort.
Würde der Faktor 1/36 dann ganz am Anfang oder vor ((1,1,3)... (nach dem Minus) stehen? Ich denke letzteres, oder? Könnte man ihn dann auch mit dem anderen Vorfaktor verrechen, sodass 1/576 (nach dem Minus) stünde?

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Wo kommt 1/36 her? du könntest höchstens die 1/6 ausklammern....bzw. vor der Klammer und nach dem Minus 1/16*1/6 rechnen. Schau dir lieber nochmal an wie man mit Vektoren addiert und mit Zahlen multipliziert.

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Oh. Ich hatte nicht beachtet, dass der Vorfaktor -1/6 nur 1 mal nach dem Minus vorkommt und der andere ganz am Anfang stünde (also -1/6 (1,1,3) - ...). Falls man nach dem Minus 1/16*(-1/6) miteinander verrrechnen würde, würde sich doch ganz normal das Vorzeichen ändern , insg also dann da -1/6 (1,1,3) + 1/96 ((... stehen?

Danke für deine Geduld mit mir ;)