Unterschied von Integral und Flächeninhalt?

Question

wo liegt der unterschied zwischen dem wert und dem flächeninhalt eines integrals?

Aufgabe:

Integral und Flächeninhalt 
Vergleichen Sie den Wert des Integrals \( \int_{a}^{b} f(x) d x \) jeweils mit dem Flächeninhalt unter dem Graphen von f dem Intervall \( [a ; b] \).

a) \( f(x)=x^{2}-1 ; a=-2, b=2 \)
b) \( f(x)=x^{3} ; a=-1, b=2 \)
c) \( f(x)=0,2 x^{4}-x^{2} ; a=-3, b=0 \)
d) \( f(x)=x^{3}-x ; a=-1, b=1 \)
e) \( f(x)=x^{2}-2 x+1 ; a=-2, b=2 \)

 

Answer 1

Der Unterschied ist einmal im Vorzeichen, Integrale können negativ sein,
Flächeninhalte nicht.
Wenn das Integral negativ ist, dann ist die entsprechende Fläche unter der x-Achse.

Außerdem muss man schauen, wenn eine Funktion teils oberhalb, teils unterhalb der
x-Achse verläuft-

Zum Beispiel ist bei x^3 das Integral von -1 bis +1 gleich Null.
Wenn man die Fläche haben will, muss man in zwei Teilen
rechnen und dann die Beträge der Integrale addieren.

Answer 2

Hier der Unterschied



Wenn du die Fläche feststellen willst muß du zuerst die
Nullstellen bestimmen, dann von Nullstelle zu Nullstelle
das Integral bilden und die Werte alle absolut setzen und
aufsummeiren.

f ( x ) = x^2 - 1
a = -2 bis 2
Stammfunktion
x^3/3 - x
Integralfunktion
[ x^3/3 - x ]_-2²
2^3/3 - 2 - ( (-2)^3/3 - 3 )

Flächenberechnung
Nullstellen
x^2 - 1 = 0
x = -1
x = 1
Fläche
| [ x^3/3 - x ]_-2^-1 | + | [ x^3/3 - x ]_-1¹ | + | [ x^3/3 - x ]₁² |



mfg Georg