Zeige dass f in ]0,2[ den Wert 10 annimmt. f(x)= (x^4+5)/(x^2-4x+5).

Question

Hi, ich habe folgende Funktion gegeben und soll nachweisen das sie den Wert 10 in einem halboffennen intervall annimmt. jetzt dachte ich an zwischenwertsatz aber das geht ja nicht.

f(x)= (x^4+5)/(x^2-4x+5).

Intervall (0;2)

danke für deine Hilfe:)

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Auch hier 2 Fragen

1. x^4 steht neben und nicht über dem Bruchstrich. Ok? Erledigt.

2. Um welchen Zwischenwertsatz geht es genau?

Zudem: Intervall (0,2) ist auf beiden Seiten offen, somit offen und nicht halboffen.

Du musst sicher die Definitionslücken des Nenners in die Betrachtung einbeziehen.

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x^4 steht auch mit über dem bruchstrich.

also f(x)=(x^4+5)/(x^2-4x+5).

bei den nullstellen im nenner kommt ja was komplexes raus.

wie kann ich dann da weiter rechnen?

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Wenn die Nullstellen nicht reell sind, musst du die nicht berücksichtigen.

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also kann ich dann damit die grenzen in f(x) einsetzen?

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Eigentlich schon. Aber nimm besser [0.1 , 1.9], wenn's damit auch funktioniert.
Hast du da einen Zwischenwertsatz für stetige Funktionen?

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Warum sollte man nicht direkt die Grenzen einsetzen ? Wir wissen doch das die Funktion stetig ist und eigentlich würde es doch nur Probleme geben wenn der Funktionswert einer Grenze genau 10 ist, weil die genaue Grenze ja nicht eingesetzt werden darf.

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Offenbar braucht man für den Zwischenwertsatz (bezogen auf Stetigkeit) abgeschlossene Intervalle. - Kenne die genaue Version und den Beweis, den die kennen, auch nicht.

Answer 1

(x^4+5) / (x^2-4x+5)

Definitionslücken

x^2 - 4x + 5 = 0 | lösen mit pq-Formel

Keine reelle Lösung. Daher ist die Funktion stetig.

f(0) = 1

f(2) = 21

Wenn ein Funktionswert einer stetigen Funktion unter 10 ist und ein Funktionswert über 10, gibt es irgendwo mind. einen Funktionswert der gleich 10 ist.

Damit ist das meiner Meinung nach gezeigt.

Siehe auch:
--> https://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz

Comments

ich hab auch die werte ermittelt und durch deine schlussfolgerung ist mir jetzt alles klar:)