Gleichungen von symmetrischen Funktionen. Steckbriefe für Polynome

Question

gesucht sind die gleichungen der folgenden drei funktionsgraphen in der linearfaktorendarstellung und polynomdarstellung:
1: punktsymmetrie zum ursprung
  u.a. nullstellen bei x=2

2: achsensymmetrie zur y-achse
 einfach nullstelle u.a. bei x=-3 und x=-1

3: einfach nullstelle bei x=-3 und x=4
doppelte nullstelle bei x=0,5
stauchung mit 1/8

Bitte um hilfe   ;)

Answer 1

Hi,

1: punksymmetrie zum ursprung
  u.a. nullstellen bei x=2

Punktsymmetrie bedeutet schonmal, dass wir es mit einer ungeraden Funktion zu tun haben. Nullstellen kann man leicht mittels Linearfaktorschreibweise einbauen.

f(x)=x(x-2)(x+2) wäre eine Möglichkeit.

(Wegen der Symmetrie brauchts natürlich auch x=-2 als Nullstelle)

 

2: achsensymmetrie zur y-achse
 einfach nullstelle u.a. bei x=-3 und x=-1

Achsensymmetrie zur y-Achse lässt auf eine gerade Funktion schließen. Die Nullstellen wie zuvor:

h(x)=(x-3)(x+3)(x-1)(x+1) wäre eine Möglichkeit

3: einfach nullstelle bei x=-3 und x=4
doppelte nullstelle bei x=0,5
stauchung mit 1/8

Nullstellen wie gehabt. Die Vielfachheit der Nullstellen wird dabei durch die Potenz klargemacht. Die Stauchung ist nur ein zusätzlicher Faktor:

k(x)=1/8*(x+3)(x-4)(x-0,5)^2

 

Alles klar? Sonst frag gerne nach.

Answer 2

1: punksymmetrie zum ursprung
  u.a. nullstellen bei x=2

ax(x - 2)(x+2) = ax^3 - 4ax

 

2: achsensymmetrie zur y-achse
 einfach nullstelle u.a. bei x=-3 und x=-1

a(x-3)(x+3)(x-1)(x+1) = ax^4 - 10ax^2 + 9a

 

3: einfach nullstelle bei x=-3 und x=4
doppelte nullstelle bei x=0,5
stauchung mit 1/8

1/8(x+3)(x-4)(x-0.5)^2 = 1/8x^4 - 1/4x^3 - 43/32x^2 + 47/32x - 3/8