Bestimmen Sie die Hessesche Normalform derjenigen Ebene E_{2}, die senkrecht zu E ist und g(t) enthält.

Question

Gegeben ist die Ebene \( E: x-y-z=2 \), die Gerade \( \underline{g}(t)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) und der Punkt

\( \underline{P}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) \)

a) Prüfen Sie, ob \( \underline{P} \) in \( E \) oder \( \underline{P} \) auf \( \underline{g}(t) \) liegt.

b) Berechnen Sie den Schnittpunkt von \( E \) mit der Geraden \( \underline{g}(t) \).

c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes \( \underline{P} \) zu \( \underline{g}(t) \)

d) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform derjenigen Ebene \( E_{2} \), die senkrecht zu \( E \) ist und \( \underline{g}(t) \) enthält.

Ansatz/Problem:

Wie berechne ich die Teilaufgabe d)? Ich weiß, dass wenn E1 und E2 senkrecht sein muss, es gilt < n1 x n2 >= 0, nur wie rechne ich es aus das g(t) mit dabei ist.

Answer 1

Erst mal dein Ansatz n1*n2=0, und für n2 mit den Komponentena,b,c) gibt das:

a - b - c = 0

Außerdem soll g in E2 sein, also muss der Normalenvektor von E2 auch senkrecht auf dem Richtungsvektor von g sein, muss also gelten:

0*a+1*b+1*c= 0

Beide Gleichungen zusammen geben c beliebig, b=-c und a= 0

Also ist alles von der Form (0; -c ; c )  ein Normalenvektor von E2.

Und dann muss auch noch ein Punkt von g in dieser Ebene sein.