Zeigen Sie, dass g auf E und auf E_{1} senkrecht steht.

Question

Hallo in die Runde! Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe... Ich komme nicht weiter egal welchen Ansatz ich wähle (Parameterform/Parameterform; Parameterform/Koordinatenform; Koordinatenform/Koordinatenform)

Die Aufgabe:

Aufgabe 2
Ebenenscharen: Gegeben sind die Ebene \( \mathrm{E} \), die Ebenenschar \( \mathrm{E}_{\mathrm{a}} \) und die Gerade \( \mathrm{g} \).
\( \mathrm{E}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{k}\left(\begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{l}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \quad \mathrm{E}_{\mathrm{a}}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{s}\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ \mathrm{a}\end{array}\right) \)
\( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\mathrm{t}\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) \)
a) Ermitteln Sie, für welche Werte \( a \in \mathbb{R} \) die Ebenen \( E \) und \( E_{a} \) sich schneiden, parallel oder identisch sind. Gibt es einen Fall, der nie vorkommt?
b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von \( \mathrm{E} \) und \( \mathrm{E}_{-2} \).
c) Nach Teilaufgabe a) ist \( E_{1} \) parallel zu E. Zeigen Sie, dass g auf \( E \) und auf \( E_{1} \) senkrecht steht.
d) Berechnen Sie die Schnittpunkte von g mit E und \( E_{1} \) und ermitteln Sie so den Abstand beider Ebenen.

Problem/Ansatz:

Ich verzweifele beim Ansatz. In Aufgabe a) kriege ich raus, dass E₁ und E sich schneiden, obwohl in c) angegeben wird, dass genau das Gegenteil der Fall ist. Könnte mir bitte jemand mit dem Rechenweg helfen?

Comments

Hallo
wie kriegst du raus, dass sie sich schneiden?
rechne du mal vor! wir suchen deinen Fehler!
Gruß lul

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Habs schon, aber danke. Der gute alte Vorzeichenfehler, den ich erst beim 6. Mal durchlesen gesehen habe wars...

Answer 1

Beides Koordinatenform wäre wohl bei a) ganz gut:

E: -x+y-2z=3     und Ea : (a-2)x+ay-2z=10-a

parallel, wenn es ein k gibt mit -k=a-2 und k=a und -2k=-2

Das klappt für k=1, also a=1 . Aber identisch sind sie dann nicht ,

weil 3*k = 10-a für k=1  und a=1  nicht  gilt.

Also kommt identisch nicht vor.

E ∩ E_-2 :     -x+y-2z=3 und
                  -4x-2y-2z=12 <=> -2x -y - z = 6

                 ==>  y=z und x=-3-z

Also Schnittgerade :

$$g: \vec{x}=\begin{pmatrix} -3\\0\\0 \end{pmatrix}+z \cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}$$

Zeigen Sie, dass g auf \( E \) und auf \( E_{1} \) senkrecht steht.

Das kann ja nicht sein: g liegt in E ; denn es ist ja der Schnitt von E mit einer anderen

Ebene.

Comments

Danke für die ausführliche Antowort!!! Hatte einen Vorzeichenfehler bei der Bildung der Koordinatenform. Ein Klassiker

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(ich kann den Kommentar, den ich geschrieben habe nicht mehr löschen, deshalb bearbeite ich ihn hier)

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Mit g ist glaube ich nicht die Schnittgerade gemeint, sondern die zusätzliche Gerade aus der Aufgabenstellung. Aber danke!

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Ah ja, das macht Sinn.