Ebene gesucht die senkrecht auf Ebene steht, die Gerade enthält

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Gerade g und eine Ebene E₃.

Welche Ebene E₄ , die die Gerade g enthält, steht senkrecht auf E₃?

E₄ in Parameter- und Normalenform angeben.

E₃ : 4x₁ -2x₂ + 3x₃ = 2

g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} \) + η \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\-1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wie ist bei dieser Aufgabe die Herangehensweise?

Skalarprodukt muss = 0 sein, damit etwas senkrecht zueinander ist. Richtig?

Normalenform der Ebene E₃  gegeben als \( \begin{pmatrix} 4\\-2\\3 \end{pmatrix} \) . Richtig?

Answer 1

Du willst uns einen einfachen Vektor als Normalform einer Ebene verkaufen?

[4, -2, 3] ⨯ [3, -1, -1] = [5, 13, 2]

Damit sieht die Normalform der Ebene E4 wie folgt aus

E4: X = [2, 1, 2] + r * [4, -2, 3] + s * [3, -1, -1]

E4: (X - [2, 1, 2]) * [5, 13, 2] = 0

E4: 5x + 13 + 2z = 27

Answer 2

Wenn die Ebenen senkrecht zueinander stehen sollen, ist der Normalenvektor von \( E_3 \) ein Richtungsvektor von \( E_4 \)

Der andere Richtungsvektor von \( E_4 \) ist der Richtungsvektor der Geraden. Und der Aufpunkt der Geraden muss auch in der Ebene \( E_4 \) liegen. Also ergibt sich die Ebene \( E_4 \) zu

$$ \begin{pmatrix} 4\\-2\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\-1\\-1 \end{pmatrix} \left[  \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}  \right]  - \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} = 0 $$

Also $$  5x+13y+2t = 27  $$

Und dann noch die Probe machen.

Answer 3

Hallo

 suche eine Ebene mit x*n=d  wobei n*(4,-2,3)=0 und die die Gerade enthält, also muss schon mal der Aufpunkt in der Ebene liegen , und natürlich der Richtungsvektor.

Gruß lul