Bestimmen Sie die allgemeine sowie die spezielle Lösung von f′(x) − xf(x) = −5x ; f(0) = 4.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die lineare Differentialgleichung
f′(x) − xf(x) = −5x mit der Anfangsbedingung f(0) = 4.
Bestimmen Sie die allgemeine sowie die spezielle Lösung der Differentialgleichung.

Problem/Ansatz:

Kann mir die Aufgabe jemand erklären mit Lösungsschritte?

Answer 1

Hallo,

f′(x) − xf(x) = −5x mit der Anfangsbedingung f(0) = 4.

Ich habe mal der Einfachheit halber geschrieben:

f(x) =y

f'(x)= y'

-------->

y′(x) − x y = −5x |+xy Lösung via Trennung der Variablen

dy/dx= xy -5x = x(y-5)

dy/(y-5)= x dx

ln|y-5|=x^2/2 +C | e hoch

|y-5|= e^(x^2/2 +C)= e^(x^2/2) * e^C

y-5= e^(x^2/2 +C)= e^(x^2/2) *  ±e^C -------> ±e^C =C₁

y=C₁ *e^(x^2/2) +5

AWB in die Lösung eingesetzt:

y(0)=4

y=C₁ *e^(x^2/2) +5

4=C₁ +5

C₁= -1

y= -e^(x^2/2) +5