Wie beweise ich die Formel dieser Matrizen?

Question

Zeigen Sie: Für alle Matrizen \( \underline{\underline{A}}, \underline{\underline{B}} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) mit \( \underline{\underline{A}}=\underline{\underline{P}} \cdot \underline{\underline{B}} \cdot \underline{\underline{P}}^{-1} \) und allen invertierbaren Matrizen \( \underline{\underline{P}} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) gilt:

a) \( \operatorname{det}(\underline{\underline{A}})=\operatorname{det}(\underline{\underline{B}}) \)

b) \( \operatorname{det}(\underline{\underline{A}}+\underline{\underline{E}})=\operatorname{det}(\underline{\underline{B}}+\underline{\underline{E}}) \)

Answer 1

Hi,
zu (a)
Allgemein gilt \( det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B) \) für jede Matrix \( A  \) und \( B \) \( \in \mathbb{R}^{n\text{ x } n} \).
Daraus folgt u.a. falls E die Einheitsmatrix ist, dass gilt $$ det(A \cdot A^{-1} ) = det(A) \cdot det(A^{-1}) = det(E) = 1  $$
Also $$ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $$
Das obige auf den Ausdruck \( P \cdot B \cdot P^{-1} \) angewendet ergibt $$ det(P \cdot B \cdot P^{-1}) = det(P) \cdot det(B) \cdot \frac{1}{det(P)} = det(B) $$ Da \( P \)  invertierbar ist gilt \( det(P) \ne 0 \) und man kann durch \( det(P) \) dividieren.

Nun zu (b)
$$ det(A+E) = det( P\cdot B \cdot P^{-1} + P\cdot P^{-1}) = det(P \cdot (B+E)\cdot P^{-1}) = det(B+E) $$