Bestimmen Sie die Koeffizienten a0, a1, a2, a3. Über die Nullstellen z1,z2,z3 ist folgendes bekannt...

Question

f(z) := a₃ z³ + a₂ z² + a₁ z + a₀ 

Bestimmen Sie die Koeffizienten a0, a1, a2, a3. Über die Nullstellen z1 ,z2 ,z3 des Polynoms ist dabei folgendes bekannt:

(a)  a₃ = 64

(b) z1 ist reell und kleiner Null.

(c) |z1| = |z2|

(d) z2 ist rein imaginär

(e) z3 = ¬ z2

(f) f(0) = 1

Answer 1

(a)  a₃ = 64  und (f) f(0) = 1 gibt f(z) := 64 z³ + a₂ z² + a₁ z + 1

(b) z1 ist reell und kleiner Null  etwa z1=c aus IR

(c) |z1| = |z2|  

(d) z2 ist rein imaginär      also z2 = c*i

(e) z3 = ¬ z2    also z3= -c*i

Dann ist f(z) = 64 *(z-c)*(z-i*c)*(z+i*c)

= 64(z^3 -c*z^2 +c^2 *z -c^3)

also - 64 c^3 = 1   also c = -1/4

also f(z) = 64 * ( z^3  +1/4*z^2 +1/16 *z  + 1/64 ) =64z^3+16z^2+4z+1