Gleichheit von Schnittmengen von Urbildmengen einer Abbildung zeigen: f^-1(M ∩ N) = f^-1(M) ∩ f^-1(N)?

Question

 
wie zeige ich ich am besten  f^-1(M ∩ N) = f^-1(M) ∩  f^-1(N)? 

f: X → Y  
M und N ⊆ Y  
A und B ⊆ X

Also zu zeigen ist 
f^-1(M ∩ N) ⊆ f^-1(M) ∩  f^-1(N) 
und 
f^-1(M) ∩  f^-1(N) ⊆  f^-1(M ∩ N)  

Ich weiß nicht genau, wie ich das zeigen soll bzw. was ich zeigen soll

Liebe Grüße

Comments

Was weisst du über f? Nur, dass f eine Abbildung ist? Bist du sicher, dass die Gleichung immer gilt?

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Mehr weiß ich nicht über f. Laut der Lösung gilt 

f^-1(M ∩ N) ⊆ f^-1(M) ∩  f^-1(N)  
und  
f^-1(M ∩ N) ⊇ f^-1(M) ∩  f^-1(N) .

(was die Gleichheit bedeutet)

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Das gilt allgemein für Abbildungen. Sieht aus wie irgendeine der ersten Aufgaben aus dem Bosch.

Hier muss man einfach nur die Definition des Urbilds verwenden, mehr nicht.

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Vom Duplikat:

Titel: Beweise Urbild von Schnttmenge ist Schnittmenge der Urbilder von Abbildungen, d.h f^{-1}(C ∩ D) =...

Stichworte: urbild,schnittmenge,abbildung,mengen

Es seien A, B Mengen und f : A → B eine beliebige Funktion. Zeigen Sie, dass für Mengen C, D ⊆ B gilt:

f^-1(C ∩ D) = f^-1 (C) ∩ f^-1 (D)

Diese Frage wurde nie so richtig in anderen Beiträgen beantwortet. Immer wurde auf eine andere unvollständige Antwort verwiesen. Deswegen würde ich bitten, dass jemand diese Aufgabenstellung erklären würde, statt auf unvollständige andere Aufgaben zu verweisen. Ist nicht böse gemeint.

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bin der fragensteller

meine vorlesungen haben noch gar nicht begonnen, ich bereite mich vor

und warum du so respektlos rumlaberst ohne erst mal zu wissen, dass ich hier nicht hilfe brauche weil ich irgendwas abgeben muss, sondern dass ich hilfe brauche weil ich mich freiwillig vorbereite, ist sehr unverschämt.

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fakename hat dir einen Vorschlag für den Anfang gemacht: Fang an mit der Frage:

Was soll \(f^{-1}(C\cap D)\) ueberhaupt sein? Schreibe das in deskriptiver Mengennotation auf ...

Aber: Übungsaufgaben beziehen sich auf Vorlesungen. Bevor du ein Skript liest, machen die keinen Sinn. Du kannst auf diese Art nicht wirklich vorlernen.

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Selbststudium und Studium unterscheiden sich da nicht so arg. In beiden Faellen sind solche Aufgaben zur Kontrolle da, ob man das Bisherige auch verstanden hat. Falls nicht, erstmal zurueckblaettern und noch mal anschauen. Der Sinn von Kontrollaufgaben besteht nicht darin, sie in ein Forum zu posten und dann andere loesen zu lassen. Sie sind so gemacht, dass man sie selber loesen kann, wenn man den Stoff verstanden hat. Da Du das offensichtlich noch nicht weisst, war ich so frei, es Dir zu sagen. Und dann gibt es natuerlich auch noch Leute, die sich einfach Aufgaben hernehmen und die loesen wollen, obwohl sie die Theorie nicht mal angeschaut haben. Auch die verdienen eine Warnung, dass das so nichts wird.

Answer 1

Für die 1. Richtung   f^{-1}(C ∩ D) ⊆ f^{-1} (C) ∩ f^{-1} (D)  wohl so:

War falsch, siehe Kommentare.

Comments

danke sehr erst mal. ist dies die einzige mögliche methode? bzw. wie kamst du darauf diesen weg zu nehmen?

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Es gibt schon ein paar Grundsätze, etwa

Mengengleichheit (A=B) zeigt man (fast) immer so:

Sei x ∈ A ==> ...Folgerungen  ==>  x ∈ B

und dann umgekehrt

Sei x ∈ B ==> ...Folgerungen  ==>  x ∈ A.

Wenn sowas auftaucht wie

Bildmenge , Urbildmenge etc.: Immer erst mal

die Definition (nachschlagen) bzw. hinschreiben

und das für die Vor. und für die Beh.  und dann schauen,

durch welche Schlüsse man von einem zum anderen kommt.

Hast du es für   f-1(C ∩ D) ⊇ f-1 (C) ∩ f-1 (D)

mal probiert ?

Answer 2

f: X → Y  
M und N ⊆ Y  
A und B ⊆ X

Also zu zeigen ist 
f^-1(M ∩ N) ⊆ f^-1(M) ∩  f^-1(N) 
und

f^-1(M) ∩  f^-1(N) ⊆  f^-1(M ∩ N) 


Fang doch z.B. bei dem 2. so an:
Sei x aus  f^-1(M) ∩  f^-1(N)
[ dann ist ja zu zeigen, dass dieses x auch aus  f^-1(M ∩ N)  ist]

dann ist x aus f^-1(M) und es ist x aus   f^-1(N)
Dann gibt es ein y1 aus M mit f(x)=y1 und
ein  y2 aus N mit f(x)=y2.
Wegen der Eindeutigkeit der Abbildung ist y1=y2=y
und dieses y ist sowohl in M als auch in N, also
in M ∩ N. Und weil ja f(x)=y ist, ist damit x aus
f^-1(M ∩ N)  .
Damit hast du

f^-1(M) ∩  f^-1(N) ⊆  f^-1(M ∩ N) 

gezeigt.

Andere Richtung geht so ähnlich.