Rätsel um verschwindende Nullstellen

Question

Hallo !

Ich hatte eine Frage zu den Nullstellen bei Taylorreihen gestellt -->

https://www.mathelounge.de/204839/frage-zu-nullstellen-bei-taylorreihen-taylorpolynomen

Dabei wurde mir gesagt wenn die Koeffizienten der Taylorreihe stets ungleich 0 sind, so kann es durchaus sein, dass sie unendlich viele Nullstellen hat.

Nun hatte ich eine zweite Frage gestellt bezüglich der Exponentialfunktion f(x) = e ^ x und zwar diese hier -->

https://www.mathelounge.de/204856/besitzt-die-exponentialfunktion-x-x-komplexe-nullstellen

Dabei wurde mir gesagt die Exponentialfunktion f(x) = e ^ x besitzt keine komplexen Nullstellen.

Meine neueste Frage die darauf aufbaut lautet nun -->

Wenn die Taylorreihenentwicklung der Exponentialfunktion unendlich viele (komplexe) Nullstellen hat aber die Exponentialfunktion selber besitzt keine, wie verschwinden die komplexen Nullstellen denn dann ?

LG Spielkamerad

Answer 1

Ich glaube das hängt einfach damit zusammen, dass du mit einzelnen Taylorpolynomen nur eine Approximation um einen bestimmten Punkt berechnest. Auch wenn du dein Polynom bis ins unendliche fortführst,bleibt es eine Approximation, aber halt mit immer geringer werdendem Fehler. 

Du kannst dir also ein Polynom n-ten Grades raussuchen und davon die Nullstellen berechnen. Jetzt musst du zunächst einmal beachten,dass du um einen bestimmten Punkt entwickelt hast. Das heißt,dass du Nullstellen die einen bestimmten Abstand von diesem Punkt besitzen sehr unwahrscheinlich sind.

Ich schaffe es grade nicht vernünftig das auf den Punkt zu bringen was ich sage.

Betrachte doch zum Beispiel,was wolframalpha dazu sagt,wenn man die komplette Reihenentwicklung benutzt :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+from+n%3D0+to+infinite+%281%2F%28n!%29*x^n%29+%3D+0

(um den Punkt x=0 entwickelt)

Die "komplette" Summe konvergiert ja gegen e^x.

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Vielen Dank für die Antwort Marvin812 !

Answer 2

trivialerweise ist die vollständige Taylorreihenentwicklung der e-Funktion in einem Punkt die e-Funktion selber und hat somit keine Nullstelle.

Gruß

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Vielen Dank für die Antwort Yakyu !

Answer 3

Ich hatte ja nur gesagt, dass es sein kann, dass im Falle von nichtverschwindenden Koeffizienten in der Reihenentwicklung unendlich viele Nullstellen vorliegen, das heißt aber nicht, dass es so sein muss, wie man eben am Beispiel der Exponentialfunktion sieht. Eine allgemeingültige Aussage kann man also scheinbar nicht treffen. Es ist hier wie so oft, sobald Unendlichkeit ins Spiel kommt wird alles irgendwie komisch.

Der Fundamentalsatz der Algebra (jedes Polynom n-ten Grades hat n komplexe Nullstellen) gilt eben nur im endlichen Fall. Im unendlichen Fall kann man mit dem Sinus und der Exponentialfunktion zwei Beispiele angeben, die vollkommen gegensätzliches Verhalten aufweisen: Ein mal unendlich viele Nullstellen und ein mal überhaupt keine, obwohl beide (wenn man von der Reihenentwicklung ausgeht) ja "Polynome unendlichen Grades" sind.

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Vielen Dank für die Antwort LC !