Stammfunktion einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = (2x^2 + 3x -2)/(x^2 -4)

Question

Könnte mir vielleicht jemand erklären welche Methoden es gibt, um die Stammfunktion einer gebrochen rationalen Funktion zu bilden.

Sobald der Exponent im Nenner größer ist wendet man doch die Partialbruchzerlegung  an. 

\( f(x)=\frac{2 x^{2}+3 x-2}{x^{2}-4} \)

Answer 1

in diesem Fall kannst du Zähler und Nenner kürzen, da beide die Nullstelle \( x = -2\) haben. Du kommst auf den Ausdruck

$$ f(x) = \frac{2x-1}{x-2} $$

hier würde sich jetzt anbieten, den Bruch zu Trennen:

$$ \frac{2x-1}{x-2} = \frac{2(x-2)+3}{x-2} = 2 + \frac{3}{x-2} $$

Und dann fällt die Integration auch einfacher.

Gruß

Answer 2

allerdings erst mal in Linearfaktoren zerlegen, dann kannst du nämlich durch
x+2 kürzen und es bleibt
(2x-1) /  (x-2)  

= (2x-4   +  3  ) / (x-2)

= (2x-4)/(x-2)   +   3  / (x-2)

= 2    +     3 / (x-2)

Also Stammfkt

2x  +  3*  ln(x-2)

Comments

Also ganz ehrlich...ich verstehe nicht wie man zu dem Rechenweg kommt. Wieso kommt bei dem Zähler 2x-1? Ich stehe gerade auf dem Schlauch! Sorry.. :(

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Kannst du auch durch Polynomdivision machen

(2x-1)   :  (x-2)  =  2     +    3 / (x-2)

2x-4

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3  

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ACH SO dER Schritt vorher:

2x^2 + 3x -2 hat eine Nullstelle bei -2, also steckt der Linearfaktor (x+2) darin
2x^2 + 3x -2= (2x-1)*(x+2) und im nenner
x^2 -4 = (x+2)(x-2)
Deshalb kannst du mit (x+2) kürzen und es bleibt eben nur

(2x-1)  / (x-2)

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Wie soll ich dann weiter mit dem Bruch 2x-1/x-2 vorgehen, um die Stammfunktion zu bilden. Nach der Polynomdivison kommt ja 3 raus.

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Die 3 ist nur der Rest.

Das Ergebnis der Division ist 2     +    3 / (x-2)

und davon eine Stammfunktion ist

2x + 3* ln(x-2)

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Super! Setze ich dann die Grenzen ein?! -3 und 0,5...ich komme da auf ganz komische Werte. Sollte ich etwas beachten?

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Wenn im ln(..) beim Einsetzen der Grenzen etwas Negatives entsteht musst du

einfach das "minus" weglassen, Genau genommen ist nämlich eine

Stammfunktion    2x + 3* ln(|x-2|)  (mit Betrag.)

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[ 2x + 3* ln(x-2)]_-3^0.5

geht auch so

2*(0.5) + 3* ln( 0.5 - 2 ) - [ 2*(-3) + 3* ln(-3-2) ]
2*(0.5) + 3* ln( 0.5 - 2 ) - 2*(-3)  - 3* ln(-3-2)
2*(0.5) - 2*(-3) + 3* ln(  -1.5 ) -  3* ln(-5)
2*(0.5) - 2*(-3) + 3* ln ( -1.5 /  -5  )
2*(0.5) - 2*(-3) + 3* ln ( 0.3 )
3.39