Berechnen Sie das Produkt aus ...

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Produkt aus:

\( \prod \limits_{k=2}^{100}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) \)

Tipp: \( \left(k^{2}-1\right)=(k+1)(k-1) \)

Ansatz/Problem:

Wenn ich jetzt zwei Produkte (k = 4, 5, 6, 7) ausführlich schreibe, erhalte ich

5/4 * 3/4 * 6/5 * 4/5 * 7/6 * 5/6 * 8/7 * 6/7

somit bleibt

3/4 * 8/7

übrig, aber wie erhalte ich jetzt das Gesamtergebnis?

Answer 1

Die Faktoren des Produktes sind doch

(1- 1/k^2 ) = ( k^2 - 1) / k^2  = ( (k+1)/k ) *  ( (k-1)/k )

und jetzt zwei Produkte jeweils von k=2 bis 100

Produkt von k=2 bis 100 über (k+1)/k ) gibt

3/2 * 4/3 * 5/4 * ......* 100/99 * 101/100

Und da kann man immer die mit der gleichen Farbe kürzen. also immer einen Zähler mit dem Nenner vom nächsten, dann bleibt nur noch 101 / 2*99 übrig.

Bei dem 2. Produkt ist es ähnlich.

Answer 2

Hi,
ich denke das kann man mit einer Indexverschiebung ganz allgemein lösen.
$$ \prod_{k=2}^n \left( 1 - \frac{1}{k^2} \right) = \prod_{k=2}^n \left( 1 - \frac{1}{k} \right)\left( 1 + \frac{1}{k} \right) = \prod_{k=2}^n \left(  \frac{k-1}{k} \right)\left( \frac{k+1}{k} \right) $$
Weiter gilt
$$ \prod_{k=2}^n \left(  \frac{k-1}{k} \right)\left( \frac{k+1}{k} \right) = \frac{1}{2}\cdot\prod_{k=3}^n   \frac{k-1}{k} \cdot \prod_{k=2}^{n-1}  \frac{k+1}{k} \cdot \frac{n+1}{n} $$ und das ist identisch zu
$$ \frac{1}{2}\cdot \prod_{k=2}^n   \frac{k}{k+1} \cdot \prod_{k=2}^{n-1} \frac{k+1}{k} \cdot\frac{n+1}{n} = \frac{1}{2} \frac{n+1}{n} $$
weil sich die Zähler und Nenner jeweils wegkürzen.
Für \( n = 100 \) ergibt sich \( \frac{101}{200} \)