Berechnen Sie die Summe der ungeraden Quadratzahlen

Question

Aufgabe:

\( S=\sum \limits_{k=0}^{49}(2 k+1)^{2} \)

Ansatz/Problem:

Ich habe das Binom aufgelöst

2k² + 4k + 1

und dann mit den Summenformeln

40.025 + 4.900 + 1 = 45.326

berechnet, laut Lösung (166.650) stimmt das aber nicht, weiß vielleicht jemand, warum?

Answer 1

$$S_n=\sum_{k=0}^n(2k+1)^2=\sum_{k=0}^n(4k^2+4k+1)=4\sum_{k=1}^nk^2+4\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=0}^n1$$$$\quad=4\cdot\frac16n(n+1)(2n+1)+4\cdot\frac12n(n+1)+(n+1)$$$$\quad=\frac13(n+1)(2n+1)(2n+3).$$$$S_{49}=\frac13\cdot50\cdot99\cdot101=166650.$$

Answer 2

(2k)²=4k²;
Und ich was nicht welche Summenformeln du verwendest hast, aber die Summe über 1 ist hier 50.
Und da 40025 wohl der 2k² Term sein soll passt da auch was nicht: 5 ist nicht gerade.

Daseinfachste zum Rechnen wär hier:
$$\sum_{n=0}^100 n^2= S+\sum_{n=0}^{50} (2n)^2= S+4\sum_{n=0}^{50} n^2$$
nach S auflösen und zweimal die Summenformel für Quadratzahlen anwenden.

Comments

Wieso ist die Summe über 1 50? Wäre das nicht dann der Fall, wenn dort k und nicht 1 stünde?

Also so

\( S=\sum \limits_{k=0}^{49}\left(2 k^{2}+k\right) \)

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$$\sum{n=0}^49 1= 1+.....+1 =50 $$ $$\sum{n=0}^49 k= 50*49/2 $$