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Aufgabe:

S=k=049(2k+1)2 S=\sum \limits_{k=0}^{49}(2 k+1)^{2}


Ansatz/Problem:

Ich habe das Binom aufgelöst

2k² + 4k + 1

und dann mit den Summenformeln

40.025 + 4.900 + 1 = 45.326

berechnet, laut Lösung (166.650) stimmt das aber nicht, weiß vielleicht jemand, warum?

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Sn=k=0n(2k+1)2=k=0n(4k2+4k+1)=4k=1nk2+4k=1nk+k=0n1S_n=\sum_{k=0}^n(2k+1)^2=\sum_{k=0}^n(4k^2+4k+1)=4\sum_{k=1}^nk^2+4\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=0}^n1=416n(n+1)(2n+1)+412n(n+1)+(n+1)\quad=4\cdot\frac16n(n+1)(2n+1)+4\cdot\frac12n(n+1)+(n+1)=13(n+1)(2n+1)(2n+3).\quad=\frac13(n+1)(2n+1)(2n+3).S49=135099101=166650.S_{49}=\frac13\cdot50\cdot99\cdot101=166650.

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(2k)²=4k²;
Und ich was nicht welche Summenformeln du verwendest hast, aber die Summe über 1 ist hier 50.
Und da 40025 wohl der 2k² Term sein soll passt da auch was nicht: 5 ist nicht gerade.

Daseinfachste zum Rechnen wär hier:
n=0100n2=S+n=050(2n)2=S+4n=050n2\sum_{n=0}^100 n^2= S+\sum_{n=0}^{50} (2n)^2= S+4\sum_{n=0}^{50} n^2
nach S auflösen und zweimal die Summenformel für Quadratzahlen anwenden.
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Wieso ist die Summe über 1 50? Wäre das nicht dann der Fall, wenn dort k und nicht 1 stünde?

Also so

S=k=049(2k2+k) S=\sum \limits_{k=0}^{49}\left(2 k^{2}+k\right)

n=0491=1+.....+1=50\sum{n=0}^49 1= 1+.....+1 =50 n=049k=5049/2\sum{n=0}^49 k= 50*49/2

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