Aufgabe:
S=∑k=049(2k+1)2 S=\sum \limits_{k=0}^{49}(2 k+1)^{2} S=k=0∑49(2k+1)2
Ansatz/Problem:
Ich habe das Binom aufgelöst
2k² + 4k + 1
und dann mit den Summenformeln
40.025 + 4.900 + 1 = 45.326
berechnet, laut Lösung (166.650) stimmt das aber nicht, weiß vielleicht jemand, warum?
Sn=∑k=0n(2k+1)2=∑k=0n(4k2+4k+1)=4∑k=1nk2+4∑k=1nk+∑k=0n1S_n=\sum_{k=0}^n(2k+1)^2=\sum_{k=0}^n(4k^2+4k+1)=4\sum_{k=1}^nk^2+4\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=0}^n1Sn=k=0∑n(2k+1)2=k=0∑n(4k2+4k+1)=4k=1∑nk2+4k=1∑nk+k=0∑n1=4⋅16n(n+1)(2n+1)+4⋅12n(n+1)+(n+1)\quad=4\cdot\frac16n(n+1)(2n+1)+4\cdot\frac12n(n+1)+(n+1)=4⋅61n(n+1)(2n+1)+4⋅21n(n+1)+(n+1)=13(n+1)(2n+1)(2n+3).\quad=\frac13(n+1)(2n+1)(2n+3).=31(n+1)(2n+1)(2n+3).S49=13⋅50⋅99⋅101=166650.S_{49}=\frac13\cdot50\cdot99\cdot101=166650.S49=31⋅50⋅99⋅101=166650.
Wieso ist die Summe über 1 50? Wäre das nicht dann der Fall, wenn dort k und nicht 1 stünde?
Also so
S=∑k=049(2k2+k) S=\sum \limits_{k=0}^{49}\left(2 k^{2}+k\right) S=k=0∑49(2k2+k)
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