Potenzreihenentwicklung sin(x) + cos(x). Wie addiere ich Reihen?

Question

Ich habe folgendes Problem.

Aufgabenstellung: Wie lautet die Potenzreihenentwicklung um x₀ = 0 der folgenden Funktionen(ohne zu differenzieren!)? geben sie den k-ten Koeffizienten und den Konvergenzradius der Entwicklung an.

Es geht also ganz simpel los:

f(x) = sin(x) + cos(x)

Die beiden Reihen für Sinus und Cosinus kenne ich bereits:

$$  \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ n } } { \frac { { x }^{ 2n+1 } }{ { (2n+1) }! }  } $$ = sin(x)

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ n } } { \frac { { x }^{ 2n } }{ { (2n) }! }  } $$ = cos(x)

nun addiere ich diese beiden Reihen, also:

$$   \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ n } } { \frac { { x }^{ 2n+1 } }{ { (2n+1) }! }  } + \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ n } } { \frac { { x }^{ 2n } }{ { (2n) }! }  } $$

soweit so gut, dass verstehe ich noch. Aber wie soll es nun weiter gehen?

In der Lösung steht folgendes:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ n } } { \frac { 1 }{ { (2n) }! } \left( \frac { { x }^{ 2n+1 } }{ 2n+1 } \quad +\quad { x }^{ 2n } \right)  } $$

Wie kommt man darauf? ich verstehe die Umformungsschritte nicht.

Answer 1

du kannst das ganze ja erstmal als eine Summe schreiben:

$$ \sum_{n=0}^{\infty} \left [(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} +(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \right ]$$

Außerdem ist $$ \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)(2n)!} $$

Und dann wird einfach eiskalt ausgeklammert.

Gruß

Comments

Vielen dank!! Ich vergesse immer das mit der Fakultät, also dass man die auch anders schreiben kann). Habs jetzt Schritt für Schritt gemacht dann und es hat funktioniert. Danke :)