Nach unbekannter Matrix X auflösen: A²(E-2A^{-1} * X)+A*X = A^{-1}

Question

unbekannte Matrix = X  EInheitsmatrix = E bekannte Matrix = A

A²(E-2A^{-1} * X)+A*X = A^{-1}   | A^{-2}*

A^{-2} * A*X                 = A^{-3}

A(-1) * X                 =  A^{-3}      | A*

X                             = A^{-2}

Frage : Ist das so richtig? Meiner Meinung nach, löst sich die Klammer nicht auf, wenn man A^{-2} * A^{2} * (..) rechnet.. Ein Freund behauptet was anderes.

Danke

Answer 1

Hi,
$$ A^2 ( E -2A^{-1} X) + AX = A^{-1}  $$
$$ A^2-2AX + AX = A^{-1}  $$
$$ A^2-AX = A^{-1} $$
$$ AX = A^2 - A^{-1} $$
$$ X = A - A^{-2}  $$

Answer 2

stimmt so nicht, siehst du bei der Probe.
Beachte: Matrixmultiplik. ist NICHT kommutativ

A²(E-2A^-1 * X)+A*X = A^-1    Klamm. auflösen
A²-2A * X+A*X = A^-1    |*A^{-2} von links
E -2A^{-1} * X+A^{-1} *X = A^-3 
E  - A^{-1} *X = A^-3
  - A^{-1} *X = A^-3 - E
  A^{-1} *X = - A^-3 + E
                 X = - A^-2 + A^{-1}

Comments

Hi,
ich glaube du hast vergessen im vorletzten Schritt das Vorzeichen von X zu ändern. Ansonsten top, danke !