Man berechne die Richtungsableitung des logarithmischen Potentials. z:=f(x,y):=ln(√(x^2 + y^2)) wobei (x^2 + y^2 >0)

Question

Aufgabe:

Man berechne die Richtungsableitung des logarithmischen Potentials

\( \mathrm{z}: \quad \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right):=\ln \left(\sqrt{\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}}\right) \quad\left(\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}>0\right) \)

an den Punkten der Menge \( M:=\left\{\left\langle x_{1}, x_{2}\right\rangle:\left\langle x_{1}, x_{2}>\in R^{2}, \quad x_{1}=x_{2}\right\}\right. \) in Richtung des Vektors \( \quad \mathrm{a}:=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right) \quad \) und interpretiere das Ergebnis anschaulich.

Answer 1

Die Punkte sind die mit (c,c) und c aus R . Und dann musst du ja f (  c+t, c-t) nach t ableiten.
Das gibt f( c+t, c-t)= ln( wurzel( (c+t)^2 + (c-t)^2 ) = ln( wurzel( 2c^2 + 2t^2 ))
abgeleitet nach t ist das mit zweimaliger Kettenregel
1 / wurzel( 2c^2 + 2t^2 )   *  1 / 2* wurzel( 2c^2 + 2t^2 )     *  2t
= t /  ( 2c^2 + 2t^2 )  
also bei t=0 auch Null.
D.h. in Richtung (1;-1) hat die Funktion im Punkt (c;c) die Steigug Null.
Extrempunkt ?

Comments

ok und ich soll das ergebnis anschaulich interpretieren

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wie gesagt: außer Extrempunkt fällt mir da auch nichts ein