Sind nach oben Beschränkte konvexe Funktionen konstant?

Question

Hallo

Meine Aufgabe steht schon zum Teil in der Frage.

Ich soll nämlich zeigen, dass jede nach oben beschränkte, konvexe Funktion ƒ: ℝ→ℝ konstant ist.

Und wenn das gezeigt wurde, soll geprüft werden, ob jede nach oben beschränkte, konvexe Funktion ƒ: [a,∞) →ℝ konstant ist !?

Comments

Ich habe irgendwie Schwierigkeiten mit dem Verständnis. Kann eine konstante Funktion konvex oder konkav sein?

Oder kann eine konvexe oder konkave Funktion konstant sein?

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen

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Ja, konstante Funktionen sind konvex und konkav, da sie das "größer gleich" bzw. "kleiner gleich" in der jeweiligen Bedingung erfüllen.

Answer 1

Die Aussage stimmt.
Ist die Funktion nicht konstant, dann kann man durch zwei Punkte der Funktionskurve eine Gerade legen, die entweder steigt oder fällt.
Steigt die Gerade, dann ist die konvexe Funktion f(x) nach oben unbeschränkt für x --> Unendlich.
Sonst ist sie nach oben unbeschränkt für x --> -Unendlich.
In jedem Fall ergibt sich ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Dagegen gibt es Beispiele von konvexen, nicht konstanten Funktionen auf einem halb-unendlichen Intervall.

Comments

Hatte eine Idee, die sich als falsch herausstellte.
Vielleicht kannst du nutzen, dass man für jede konvexe Funktion und irgendein \(a\) aus dem Definitionsbereich ein \(c\in \mathbb{R} \) finden kann, sodass
$$ f(x) \geq f(a) + c(x-a). $$