Wie zeige ich, dass es eine Gruppe mit Matrizenmultiplikation als Verknüpfung ist?

Question

a) Zeigen Sie, dass die Menge
$$ G=\left\{\left(\begin{array}{ll} {1} & {a} \\ {0} & {1} \end{array}\right) | a \in \mathbb{R}\right\} $$
mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

b) Ist diese Gruppe abelsch? 

Wie zeige ich das diese Menge eine Gruppe bildet und abelsch ist?

Answer 1

Um zu zeigen dass dies eine Gruppe ist müssen folgende Axiome erfüllt sein:

- Assoziativität (Klammern setzen) als Beispiel: (A*B)*C=A*(B*C)
- Es existiert ein neutrales Element a,e ∈ G  mit a*e = a
- Zu jedem Element existiert ein Inverses a^-1 ∈ G, mit a*a^-1 = e

Damit die Gruppe eine abelsche Gruppe ist muss ein weiteres Axiom gelten, und zwar muss das Kommutativgesetz(vertauschen) gelten, also a*b = b*a

Also um die Aufgabe zu lösen musst du nur diese Axiome prüfen

Comments

und besonders wichtig:

wenn du zwei Matrizen von der gegebenen Art multiplizierst,

musst du schauen, dass auch wieder eine solche entsteht

(Abgeschlossenheit nennt sich das.)

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Und wie wäre der Ansatz bei dieser Aufgabe, wie stelle ich es auf?

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Du betrachtest hier nur den Fall der Multiplikation.

Die Assioziativität kann man sich anhand eines Beispiels der reellen Zahlen deutlich machen.

(1 * 2) * 3 = 1 * (2 * 3)
    2     * 3 = 1 *     6
             6 = 6

Das neutrale Element der Multiplikation bei Matrizen ist die Einheitsmatrix. Sprich eine Matrix mit den Diagonaleinträgen 1.
In den reellen Zahlen ist das die 1, nämlich 6 * 1 = 6

Das Inverse Element ist die Inverse Matrix, wenn du die multiplizierst erhältst du die Einheitsmatrix
Dies wäre in den reellen Zahlen 6 * 1/6 = 1


Das musst du jetzt nur noch auf dein Problem übertragen, ihr habt sicherlich ähnliche Beispiele im Unterricht oder in der Vorlesung besprochen.