Zweielementige Menge mit der Verknüpfung " * "

Question

es geht um folgendes.

$$ \text{Es sei }M=\{e,m\} \text{ eine zweielementige Menge. Zeige: Es gibt genau eine Verknüpfung }"*"\text{ auf M,}\\\text{sodass }(M;*)\text{ eine Gruppe mit neutralem Element } e \text{ ist. In diesem Fall ist }(M;*) \text{ eine abelsche Gruppe.} $$

Hier versteh ich nicht wirklich, glaub ich, wie man vorgehen müsste. Mein bisheriger Ansatz war dieser hier:

Beweis.

$$ \text{Sei }M=\{e,m\} \text{ eine zweielementige Menge. Definiere eine Abbildung }\\*:M\times M\rightarrow M,(m_1,m_2)\mapsto *(m_1,m_2)=:m_1*m_2 \text{, welche die Verknüpfung auf } M\text{ ist.}\\\text{Es muss gezeigt werden, dass * bijektiv ist, um so sagen zu können, dass diese Verknüpfung * eindeutig ist.}\\\text{Es sei }m_1,m_2\in M\text{, sodass}*(m_1,m_1)=*(m_2,m_2)\text{ gilt. Dann ist }\\m_1*m_1=*(m_1,m_1)=*(m_2,m_2)=m_2*m_2$$

Hier komme ich nicht weiter, bzw. bin mir nicht wirklich sicher, ob das zum Ziel führt. Weil hier ja von Verknüpfung auf M die Rede war, habe ich mir entsprechend der Definition einer Verknüpfung, eine Abbildung definiert. Und da hier GENAU EINE Verknüpfung erwähnt wurde, dachte ich mir, dass * bijektiv sein muss.

Stimmt das oder verstehe ich das falsch?

Gruß

hallo97

Answer 1

Die Verknüpfung ist eine Abbildung von MxM nach M und MxM hat bei dir 4 Elemente (alle Paare

mit Komponenten in M) und M hat nur 2. Da gibt es keine bijektive Abbildung. ABER:

Wenn e das neutrale Element sein soll, hast du schon mal e*m=m und m*e=m

 oder wenn du es als Abbildung sehen willst  *(e,m)=m und *(m,e)=m

ebenso e*e=e  bzw  *(e,e)=e,

Bleibt also nur noch die Frage :  Was ist m*m. Da in jeder Gruppe jedes Element ein inverses haben muss,

und das Inverse zu e ist e , bleibt nur: Das Inverse zu m ist m, also hat man m*m=e.

Weil es keine andere Möglichkeit gibt, ist das also die einzig mögliche Verknüpfung.

Also gibt es GENAU EINE.

Comments

Achso ist das gemeint. Danke. :-)