Menge mit Verknüpfung und Skalarmultiplikation zeichnen

Question

Aufgabe:

ich habe eine Menge mit einer Verknüpfung und einer Skalarmultiplikation. Die Aufgabe bestand aus 3 Teilen. 1./2. Zeige, dass es eine abelsche Gruppe bzw. ein Vektorraum ist. 3. Die Menge M zeichnen und die Verknüpfung sowie die Skalarmultiplikation veranschaulichen.

Die Aufgabe:

Betrachten Sie die Menge
$$ M:=\left\{\left(\begin{array}{l} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid \alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}=1\right\} $$
zusammen mit einer Verknüpfung $$\square: M \times M \rightarrow M,$$ welche gemäß
$$ \left(\begin{array}{l} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \end{array}\right) \square\left(\begin{array}{l} \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \beta_{3} \end{array}\right):=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \beta_{2}+\alpha_{2} \beta_{1} \\ \alpha_{2} \beta_{2}-\alpha_{1} \beta_{1} \\ \alpha_{3}+\beta_{3} \end{array}\right) $$
definiert ist, und einer Skalarmultiplikation $$\nabla: \mathbb{R} \times M \rightarrow M,$$ welche gemäß
$$ \lambda \nabla\left(\begin{array}{l} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \end{array}\right):=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \lambda \alpha_{3} \end{array}\right) $$
definiert ist.

Ich brauche nur Hilfe bei 3. Das es eine abelsche Gruppe ist habe ich gezeigt. Und ich weiß auch, dass die Skalarmultiplikation nicht gilt, da die Assoziativität und beide Distributivitäten nicht gelten. Somit ist M, Quadrat, Dreieck kein Vektorraum.

Wie kann ich die Menge M zeichnen und dabei die beiden Komponenten veranschaulichen?

LG :)

Answer 1

Zeichnen ist etwas schwierig. Für α3 = 0 ist es der Kreis um (0;0) mit Radius 1.

Da α3 jeden Wert annehmen kann, heißt das: Der Kreis wird aus der xy-Ebene

parallel zur z-Achse nach oben oder unten verschoben. Alle diese Kreise zusammen

bilden einen unendlich hohen Zylinder ohne Deckel und Boden.

Die S-Multiplikation bedeutet einfach nur : Ein Punkt auf dem Zylindermantel

wird senkrecht nach oben bzw. unten auf dem Mantel verschoben, bis er die

|λ|-fache Entfernung von der xy-Ebene hat. Kann man auch als Streckung/Stauchung

betrachten.

Bei der Addition entsteht ein Punkt (auf dem Zylindermantel) der soweit von der

xy-Ebene entfernt ist, wie die Summe der orienterten (also mit + / - Beachtung)

Entfernungen der beiden Summanden.

Und die ersten beiden Koordinaten (Denke mal an Additionstheoreme für

sin und cos.) entsprechen der Addition der Winkel, welche  die beiden

Punkte vorher bestimmt haben: Vom Punkt das Lot auf die z-Achse (Dort ist

der Scheitel des Winkels.) und der zweite Schenkel vom Scheitel parallel

zur x-Achse.

Vielleicht hilft auch das:

https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Zylinderkoordinaten

Comments

vielen Dank für deine Nachricht. Die Aufgabe war auf einem Wiederholungsblatt für die vorlesungsfreie Zeit. Leider ist mir alles was geschildert wurde etwas fremd. Wie würde ich, denn vorgehen wenn ich eine andere Menge oder eine andere Verknüpfung hätte?

LG

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Ein allgemeines Rezept hätte ich da nicht.

Hier hat mich das gleich sehr an die

Zylinderkoordinaten erinnert.

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Okay, vielen Dank !