Vollständiger Induktionsbeweis

Question

Hi,

versuche mich grade daran vollständige Induktion noch einmal zu wiederholen.

∑ⁿ_k=1 (-1)^k*k^2 = (-1)^n ("n+1 über 2")

Den Induktionsanfang für n=1 hab ich schon überprüft.

Nun zum Schritt n zu n+1

Habe das der Reihe nach aufgeschrieben:
∑ⁿ⁺¹_k=1 (-1)^k*k^2

= ∑ⁿ_k=1 (-1)^k*k^2 + (-1)ⁿ⁺¹ * (n+1)^2

= (-1)ⁿ* ("n+1 über 2") + (-1)ⁿ⁺¹* (n+1)^2

Und jetzt komme ich leider nicht mehr weiter und würde mich über Hilfe freuen!
Danke schonmal

Answer 1

$$\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^k k^2 = (-1)^n \binom{n+1}{2} + (-1)^{n+1}(n+1)^2 \\ =(-1)^n \left(  \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!} - (n+1)^2 \right)=(-1)^n \left(  \frac{(n-1)!n(n+1)}{2(n-1)!} - (n+1)^2 \right) \\ =(-1)^n \left(  \frac{n(n+1)}{2} - (n+1)^2 \right)=(-1)^n (n+1)\left(  \frac{n}{2} - (n+1) \right) \\ =(-1)^n (n+1)\left(  \frac{n-2n-2}{2} \right) =(-1)^n (n+1)\left(  \frac{-n-2}{2} \right) \\ =(-1)^{n+1} (n+1)\left(  \frac{n+2}{2} \right) =(-1)^{n+1}\frac{(n+1)(n+2)}{2}=(-1)^{n+1}\binom{n+2}{2}$$

$$\binom{n+2}{2}=\frac{(n+2)!}{2!n!}=\frac{n!(n+1)(n+2)}{2n!}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

Comments

Jap,das ist genau das,was ich auch geschrieben habe nur ausgeführt :D

So viel Tipparbeit,hättest dir bestimmt nicht machen müssen.

Answer 2

Ist das eine alte Klausuraufgabe?
Die Aufgabe habe ich letztens nämlich auch gemacht.

Schreibe doch mal den Binomialkoeffizienten auf beiden Seiten aus. Dann wirst du sehen,dass du nur ein ganz normales Polynom auf beiden Seiten da stehen hast, weil sich der Rest wegkürzt.

Comments

Ja ist es.. Wollte die machen um mich auf die Klausur vorzubereiten.

Danke guter Tipp, ich werds versuchen!

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Ist das aus der Klausur vom Geiges von 2002?
Falls ja:Hab die Klausur auch schon gerechnet.

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Jaa ganz genau!
Ist ja witzig:D Bin eben grade dran, oje :/

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Falls Probleme bestehen melde dich einfach. Ich müsste eigentlich jede Aufgabe schon gelöst haben.

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Ich danke dir, auf dieses Angebot werde ich wahrscheinlich zurückkommen :D

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Hey Marvin,

ich wollte nochmal auf dein Angebot zurückkommen, weil es noch eine Aufgabe gibt, bei der ich Probleme hab.. bzw. allgemein bei dem Thema Stetigkeit will es nicht so ganz laufen, aber naja :D
Auf jeden Fall eben die Aufgabe 8 von der Klausur vom Geiges, könntest du mir da mal erklären. wie man da vorgeht? Wäre dir wirklich dankbar!

Liebe Grüße

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Du bist doch bestimmt in der Ersti gruppe auf facebook in mathe oder wirtschaftsmathe oder?
Such da mal nach meinem Namen,bin der einzige der da so heißt. Dann kann ich dir das direkt erklären.