Question

Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger Induktion nach n: Für n ∈ {1, 2, . . . , } gilt:

4/(1*3) + 4/(2*4) + 4/(3*5) + ... + 4/(n(n+2)) = (n(3n+5))/((n+1)(n+2))

Schreiben Sie auch die linke Seite der Identität mittels Summenzeichen. Achten Sie auf genaue und ausführliche Argumentation!

Answer 1

∑ (k = 1 bis n) (4/(k·(k + 2))) = n·(3·n + 5)/((n + 1)·(n + 2))

Du solltest es doch selber schaffen die Aussage für n = 1 zu prüfen oder nicht?

Answer 2

Aloha :)

Wir schreiben zuerst die linke Seite mit einem Summenzeichen und formulieren damit die Behauptung neu:$$A(n)\coloneqq\sum\limits_{k=1}^n\frac{4}{k(k+2)}=\frac{n(3n+5)}{(n+1)(n+2)}$$

Verankerung der Induktion bei \(n=1\):$$A(1)=\left.\sum\limits_{k=1}^n\frac{4}{k(k+2)}\right|_{n=1}=\frac{4}{1\cdot3}=\frac43$$$$A(1)=\left.\frac{n(3n+5)}{(n+1)(n+2)}\right|_{n=1}=\frac{1\cdot(3+5)}{2\cdot3}=\frac86=\frac43$$Für \(n=1\) ist die Behauptung wahr.

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):

Wir haben gezeigt, dass die Gleichung \(A(n)\) für ein bestimmtes \(n\) gilt. Wir folgern nun, dass dann die Gleichung \(A(n+1)\) auch für \((n+1)\) gilt:

$$A(n+1)=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{4}{k(k+2)}=\frac{4}{(n+1)\cdot\underbrace{((n+1)+2)}_{=(n+3)}}+\underbrace{\sum\limits_{k=1}^n\frac{4}{k(k+1)}}_{=A(n)}$$Für die verbliebene Summe können wir nun den bereits gezeigten Ausdruck für \(A(n)\) einsetzen:$$A(n+1)=\frac{4}{(n+1)(n+3)}+\frac{n(3n+5)}{(n+1)(n+2)}=\frac{4}{(n+1)(n+3)}+\frac{3n^2+5n}{(n+1)(n+2)}$$Wir bringen beide Brüche auf den Hauptnenner und addieren sie:$$A(n+1)=\frac{4(n+2)}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\frac{(3n^2+5n)(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+3)}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{4n+8}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\frac{3n^3+5n^2+9n^2+15n}{(n+1)(n+2)(n+3)}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{3n^3+14n^2+19n+8}{(n+1)(n+2)(n+3)}$$

Das sieht schlimmer aus, als es ist. Wir wissen ja, dass wir als Nenner \((n+2)(n+3)\) benötigen. Daher können wir im Zähler \((n+1)\) ausklammern und wegkürzen.$$\phantom{A(n+1)}=\frac{3n^3+\overbrace{3n^2+11n^2}^{=14n^2}+\overbrace{11n+8n}^{=19n}+8}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{3n^2(n+1)+11n(n+1)+8(n+1)}{(n+1)(n+2)(n+3)}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(3n^2+11n+8)\cancel{(n+1)}}{\cancel{(n+1)}(n+2)(n+3)}=\frac{3n^2+\overbrace{3n+8n}^{=11n}+8}{(n+2)(n+3)}=\frac{3n(n+1)+8(n+1)}{(n+2)(n+3)}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(3n+8)}{(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)(3(n+1)+5)}{((n+1)+1)((n+1)+2)}\quad\checkmark$$Wir erhalten denselben Ausdruck wie für \(A(n)\) nur sind alle \(n\) durch \((n+1)\) ersetzt worden. Daher gilt die Behauptung auch für den Fall \((n+1)\).