Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Summe für n ∈ N. 1^3 + 2^3 + 3^3...+ n^3 = ¼ n^2 (n + 1)^2

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } ( n + 1 ) ^ { 2 } \text { für } n \in \mathbb { N } $$

Prinzip ist klar, aber habe trotzdem Probleme beim Lösen.

Comments

……….+ n3 = ¼ n2 (n + 1)2

Handelt es sich um die Summe der ersten n Kubikzahlen? Also

1^3 + 2^3 + 3^3……….+ n^3 = ¼ n^2 (n + 1)^2

???

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Ja. 13 + 23 + 33……….+ n3 = ¼ n2 (n + 1)2

Answer 1

Induktionsanfang:

Sei n = 1

Linke Seite:

1^3 = 1

Rechte Seite:

1/4 (1+1)^2 = 1/4 * 4 = 1

Somit gilt der Induktionsanfang:

Induktionsannahme:

Sei n ∈ ℕ und \( \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } ( n + 1 ) ^ { 2 } \)

Induktionsschritt: z.Z. ist, dass aus n, (n+1) folgt.

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } k ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } ( n + 1 ) ^ { 2 } ( ( n + 1 ) 1 ) ^ { 2 } $$

Wir formen die linke Seite so um, dass wir unsere Induktionsannahme einsetzen können.

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 3 } + ( n + 1 ) ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } ( n + 1 ) ^ { 2 } ( ( n + 1 ) 1 ) ^ { 2 } $$

Nun können wir unsere I.A. verwenden:

$$ \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } ( n + 1 ) ^ { 2 } + ( n + 1 ) ^ { 3 } = \frac { 1 } { 4 } ( n + 1 ) ^ { 2 } ( ( n + 1 ) 1 ) ^ { 2 } $$

Nun gilt es nur noch zu zeigen, dass die beiden Seite gleich sind.

$$ \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 13 } { 4 } n ^ { 2 } + 3 n + 1 = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 13 } { 4 } n ^ { 2 } + 3 n + 1 $$

Comments

Könntest Du den letzten Schritt ausführlicher erklären?

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Na klar. Die Umformungen sind nicht kompliziert, doch durch ihre Anzahl kann es schnell unübersichtlich werden. Zudem immer an die binomischen Formeln denken!

$$ \text { 1. Schritt: } \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } \left( n ^ { 2 } + 2 n + 1 \right) + ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 1 ) = \frac { 1 } { 4 } \left( n ^ { 2 } + 2 n + 1 \right) \left( n ^ { 2 } + 4 n + 4 \right) \\ 2 . \text { Schritt: } \left( \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } \right) + \left( n ^ { 2 } + 2 n + 1 \right) ( n + 1 ) = \left( \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } n + \frac { 1 } { 4 } \right) \left( n ^ { 2 } + 4 n + 4 \right) \\ 3 . \text { Schritt: } \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } + n ^ { 3 } + n ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 } + 2 n + n + 1 = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + n ^ { 3 } + n ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } n ^ { 3 } + 2 n ^ { 2 } + 2 n + \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 } + n + 1 \\ 4 . \text { Schritt: } \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 13 } { 4 } n ^ { 2 } + 3 n + 1 = \frac { 1 } { 4 } n ^ { 4 } + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 } + \frac { 13 } { 4 } n ^ { 2 } + 3 n + 1 $$