Vollständige Induktion auflösen: (1^3 + 2^3 + …+ n^3) = 1/4 n^2 (n+1)^2

Question

Frage bezüglich der Vollständigen Induktion:

$$ 1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}+(n+1)^{3} $$
\( = \left(1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}\right)+(n+1)^{3} \)
\( = \color{#F00}{-\frac{1}{4} n^2} (n+1)^{2}+(n+1)^{3} \)
$$ \begin{array}{l} {=(n+1)^{2}\left(\frac{1}{4} n^{2}+(n+1)\right)} \\ {=\frac{1}{4}(n+1)^{2} \cdot\left(n^{2}+4 n+4\right)} \\ {=\frac{1}{4}(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}} \end{array} $$

Ich verstehe nicht wie man auf den Ausdruck \( \frac{1}{4}n^2 · (n+1)^2 \) kommt. Oder kann ich das auch irgendwie anders auflösen?

Answer 1

Der Ausdruck

( 1 / 4 ) n ² * ( n + 1 ) ²

ist die Formel für die Summe der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen. Sein Wert ist also gleich dem Wert der ersten Klammer in der vorangehenden Zeile.

Comments

er schreibt aber dafür eigentlich ((n+1)²+(n+2)²)/4

wie kommt er dann auf einmal auf den oben genannten Ausdruck den ich mit ? markiert habe, verstehe den Schritt den er macht nicht....

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((n+1)²+(n+2)²)/4

Für was schreibt "er" diesen Ausdruck?
Sicher nicht für die Summe der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen ...Prüfe den Auisdruck noch einmal. Ich vermute, dass er tatsächlich so aussieht:

((n+1)² * (n+2)²)/4

Ich vermute auch, dass hier durch VI gezeigt werden soll, dass gilt:

1 ³ + 2 ³ + 3 ³  + ... n ³  = ( 1 / 4 ) * n ² * ( n + 1 ) ²

Ist das so?

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Hier ist die komplette Lösung:

Induktionsanfang: Für \( n=1 \) ist \( 1^{3}=\frac{1^{2} \cdot 2^{2}}{4}, \) also stimmt die Summenformel für \( n=1 \).

Induktionsvoraussetzung: Für ein \( n \in \mathbb{N} \) gelte die Summenformel
\( 1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}=\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4} \)

Induktionsschluss: Zu zeigen ist, dass die Summenformel auch für \( n+1 \) gilt, sofern sie für \( n \) gilt. Auf der linken Seite steht dann nicht mehr die Summe der dritten Potenzen der ersten \( n \) natürlichen Zahlen, sondern die Summe der dritten Potenzen der ersten \( n+1 \) natürlichen Zahlen. Auf der rechten Seite steht
\( \dfrac{(n+1)^{2} \cdot((n+1)+1)^{2}}{4} = \dfrac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4} \cdot \)

Zu zeigen ist also:
\( 1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}+(n+1)^{3}=\frac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4} \)

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Hier wird schlicht die Induktionsvoraussetzung verwendet.

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Ich verstehe aber nicht wie er auf den Ausdruck 1/4n²*(n+1)²kommt.

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Hier wird schlicht die Induktionsvoraussetzung verwendet.

So ist es.

Es ist das Grundprinzip der VI, dass man zunächst zeigt, dass eine Aussage A ( m ) für ein bestimmtes m gilt (Induktionsanfang).

Dann nimmt man an, dass die Aussage für irgendein n ≥ m gilt (Induktionsvoraussetzung) und zeigt unter Verwendung dieser Annahme, dass dann auch A ( n + 1 ) gilt (Induktionsschluss).

Ist das gelungen, dann ist gezeigt, dass A ( m ) gilt und damit auch A ( m + 1 ) und damit auch A ( m + 2 ) usw.

Wichtig ist, dass im Induktionsschluss die Induktionsvoraussetzung verwendet wird - und genau das hat der Autor der oben gezeigten Lösung getan.

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Ich verstehe aber nicht wie er auf den Ausdruck 1/4n²*(n+1)²kommt.

Wie er auf diesen Ausdruck kommt, ist völlig gleichgültig. Irgendwie ist man zu der Vermutung gekommen, dass die Summe der dritten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen gleich diesem Ausdruck ist, dass also gilt:

1 ³ + 2 ³ + 3 ³  + ... n ³  = ( 1 / 4 ) * n ² * ( n + 1 ) ²

Und diese Vermutung soll nun durch VI bewiesen werden.

Also zeigt man zunächst, dass diese Vermutung für n = 1 gilt.

Dann nimmt man an, dass sie für ein festes n ≥ 1 gilt und zeigt nun unter Verwendung dieser Annahme, dass sie dann auch für n + 1 gilt, dass dann also auch gilt:

1 ³ + 2 ³ + 3 ³  + ... n ³ + ( n + 1) ³ = ( 1 / 4 ) * ( n + 1 ) ² * ( n + 2 ) ²

Die Annahme wird verwendet, indem in dieser Gleichung der Term

1 ³ + 2 ³ + 3 ³  + ... n ³ durch ( 1 / 4 ) * n ² * ( n + 1 ) ²

ersetzt wird, denn laut Induktionsvoraussetzung sind diese beiden Ausdrücke gleich. Die Gleichung lautet dann also:

( 1 / 4 ) * n ² * ( n + 1 ) ² + ( n + 1 ) ³ =  ( 1 / 4 ) * ( n + 1 ) ² * ( n + 2 ) ²

und nun wird im weiteren Verlauf nachgewiesen, dass diese Gleichung eine wahre Aussage ist. Ist das gelungen, dann ist gezeigt, dass die ursprüngliche Behauptung:

1 ³ + 2 ³ + 3 ³  + ... n ³  = ( 1 / 4 ) * n ² * ( n + 1 ) ²

tatsächlich für alle n ≥ 1 gilt.

Answer 2

Ich verstehe nicht wie er auf den Ausdruck 1/4n²*(n+1)²kommt. Oder kann ich das auch irgendwie anders auflösen?

Hallo Fenguli 

(1^3 + 2^3 + … + n^3) = 1/4n²*(n+1)² ist bestimmt die Induktionsvoraussetzung. Die kann/muss man benutzen im Induktionsschritt.

Comments

Betrachte vielleicht den Beweis hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel3.htm

Das ist dasselbe.

Die Formel selbst ist mit Induktion schnell bewiesen:

Induktionsanfang für n=1:
K(1) = 1²·2²/4 = 1    o.k.

Induktionsschritt:
K(n+1) = (n+1)²(n+2)²/4
= (n+1)²(n²+4n+4)/4
= n²(n+1)²/4 + (n+1)²(n+1)
= n²(n+1)²/4 + (n+1)³
= K(n) + (n+1)³

Aus dem Vergleich dieser Summenformel mit der Formel für die Summe der natürlichen Zahlen bis n ergibt sich eine überraschende Erkenntnis:
Die Summe der Kubikzahlen 1 + 2³ + 3³ + ... + n³ ist das Quadrat der Summe der natürlichen Zahlen bis n.