Funktion f(x)=(pi-x)^2/4 gerade oder ungerade?

Question

Hallo liebes Forum :)!

Meine Frage:

ist diese Funktion f(x)=(pi-x)²/4 gerade oder ungerade? Laut den Lösungen soll diese gerade sein... aber wieso?

Meine Überlegung:

Die Funktion ist gerade, wenn folgendes gilt f(-x)=f(x) ... also überprüfe ich das mal:

(pi-(-x))² /4 = (pi-x)²/4  ... dann die binomischen formeln auflösen (habe die 1/4 beim nächsten schritt weggelassen, da die keinen einfluss auf die eigenschaft hat)

pi²-2*pi*(-x)+(-x)² = pi²-2*pi*x+x²  ... noch etwas vereinfachen

pi²+2*pi*x+x² = pi²-2*pi*x+x²  .... und siehe da es stimmt nicht mit der Aussage überein -,- aber wieso nicht? welchen Fehler mache ich :D?

Ich bitte um eure Mithilfe! und Dankeschön

Comments

Vgl. auch hier: https://www.mathelounge.de/206386/gerade-ungerade-funktion?show=206427#c206427

Answer 1

also wenn ihr mit geraden Funktionen symmetrisch zur y-Achse meint, dann ist die Funktion definitiv nicht gerade :) (siehe deine eigenen Berechnungen). Allerdings ist die Funktion symmetrisch zur Achse \( x = \pi \).

Gruß

Comments

erst mal viele Dank für die schnelle Antwort :)!

Okay also stimmt meine Berechnung.

Aber wie kommt er darauf, dass diese gerade ist :D ? Hat das was mit der symmetrie x=pi zu tun? ... wenn ja, was ist damit gemeint?

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Könntest du die ursprüngliche Aufgabenstellung dazu posten. Das fehlt irgendein Zusammenhang auf den ersten Blick. Geht es um Fourierkoeffizienten?

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hier die aufgabe ... es handelt sich um die 1 c)... und somit ja es handelt sich um die Fourierkoef. ... und um die eigentliche Funktion zu vereinfachen, kann man ja bei den Fällen ungerade/gerade welche weglassen. Dies ist mir auch klar, aber wie er auf den Entschluss kommt, dass diese Funktion gerade ist, ist für mich noch ein Rätsel ^^

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Du bist lustig :D, so ein Zusammenhang zu verschweigen
Die Funktion bei c) hat Periode \(2\pi\) und ist auf dem Intervall \( [0, 2\pi] \) definiert.Es gilt also \( f(t) = f(t+2\pi) \). Um zu schauen, dass sie gerade ist reicht es zu gucken ob\( f(t) = f(-t) \) auf dem Intervall \([-2\pi, 2\pi] \) gilt. Sei \( t \in [0, 2\pi] \) dann ist \( -t \in [-2\pi, 0] \) und \(-t+2\pi \in [0, 2\pi] \).
$$ f(-t) = f(-t + 2\pi) = \frac{(t-\pi)^2}{4} = f(t) $$Also ist f gerade.
Mit ein wenig Erfahrung kann man dies allerdings schon an der Symmetrieachse der Funktion \( f(t) \) erkennen.

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Ach du dickes Ei :D ...

also habe jetzt auch in der Vorlesung gefunden, wenn die Funktion periodisch ist, dann gilt:

f(t+2*pi)=f(t)

und das auf einem Intervall [0,2*pi]

um zu gucken, ob diese Fkt. gerade ist, muss man prüfen f(t)=f(-t)

Okay bis hier hin verstanden! :D

... so jetzt würde ich wie folgt weiter machen

ich stelle die Gleichung f(t)=f(-t) "neu" auf => f(t+2*pi)=f(-t+2*pi)

... soo und jetzt setze ich ein ? aber wie O.o :D ? und wieso ist dein Intervall aufeinmal [-2*pi,2*pi] groß? O.o

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Die Funktion f ist nur auf [0, 2*pi] definiert. Deswegen das ganze rumgeschiebe da oben. Du kannst gar nicht einfach so f(-t) ausrechnen wenn -t < 0 ist (da nicht definiert), bzw. du weißt das die Funktion periodisch fortgesetzt wird und musst das dementsprechend einsetzen. Wie man f(-t) = f(t) zeigt habe ich dir ja oben schon aufgeschrieben.

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okay....

aber wie kommst du auf das Ergebnis:

(t-pi)²/4 ?

du hast geschrieben:

f(-t)=f(-t+2*pi) ... das verstehe ich, da dies gilt weil die Periode 2*pi ist

aber wie kommst du dann auf das Ergebnis (t-pi)²/4 ?

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So da \( -t+2\pi \in [0, 2\pi] \) liegt können wir den Funktionswert an der Stelle berechnen. Ich schreibs dir mal Schritt für Schritt für Schritt auf, damit du keine Ausreden mehr hast :D

$$ f(-t) = f(-t+2\pi) = \frac{(\pi - (-t+2\pi))^2}{4} = \frac{(t-\pi)^2}{4} = \frac{(\pi-t)^2}{4} = f(t) $$

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wtf :D !!!! mein Abend ist gerettet :D ich hätte gleich meinen neuen Laptop ausm Fenster geschmissen ! :D danke ;)

doch jetzt noch eine Frage, weil ich glaube, dass ich das dann nur durch Zufall bei den restlichen Aufgaben richtig getippt habe.

Und zwar bei Aufgabe 1 a) und b) ... muss ich den "Vergleich" auch erst umschreiben mit dem f(t)=f(t+2*pi), da dort ja auch die Perioden 2*pi sind?

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Nein, die Funktionen sind gerade bei b) und ungerade bei a) und sind über einem Intervall der Art \([-a,a]\) definiert. Du kannst also direkt überprüfen ob \( f(t) = f(-t) \) (ungerade) bzw. \( -f(t) = f(-t) \) für ungerade gilt.

Und die Periode bei b) ist 4 und nicht 2pi :)

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okay auch verstanden :D letzte frage :D ! versprochen :P

zu b) ist dort die Periode 4 weil das Intervall zu den unterschiedlichen werten von -2 bis 2 sich erstreckt?

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Genau du hast eine Funktion die auf einem Intervall definiert ist das eine Länge von 4 hat. Willst du es periodisch fortsetzen nimmst du ja diese Länge als Periode :)

Kein Thema, schön das ich helfen konnte.