kleines Verständnisproblem bei Konvergenzradius

Question

Hi, ich hab hier eine kurze Frage, zu folgender Aufgabe:

Ich soll den Konvergenzradius und und Entwickpunkgspunkt bestimmen.

$$ \sum _{ 2 }^{ \infty  }{ ({ (\frac { 1 }{ 9 } *(z²+4iz-4)) }^{ n } }  $$

Z0 = -2i

Wenn ich den Konvergenzradius ausrechne komme ich auf 9, die Lösung sollte jedoch 3 sein. hab also irgendwas falsch gemacht.

Hier mal kurz mein Rechenweg:

ALso mit Wurzelkriterium komme ich auf: $$ \sqrt [ n ]{ ({ \frac { 1 }{ 9 }  }^{ n }) }  $$

a= 1/9 -> p= 1/a -> p=1/1/9 -> P=9

wieso sollte ich hier jetzt also auf 3 kommen? muss ich eventuell den startwert von 2 besonders berücksichtigen und irgendwo dazunehmen ?

mfg Michael

Answer 1

also am besten schreibst du dir die Potenzreihe erstmal so auf:

$$ \sum \left (\frac{1}{9} \right)^n \cdot ((z+2i)^2)^n $$

Für den Konvergenzradius gilt:

$$ |(z+2i)^2| < 9 $$

und somit

$$ |z +2i| < 3 $$

Gruß

Comments

Danke. In dem Fall spielt der Startwert also keine Rolle ? würde das auch mit dem WK gehen ?

mfg

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\( z + 2i = z - (-2i) = z-z_0 \) da haste deine Startwert drin, dachte da wäre klar ;)

Du hast es doch mit dem Wurzelkriterium gemacht.

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-2i ist doch der Entwicklungspunkt. Ich meinte, meine Summe beginnt bei 2 und geht bis unendlich.

$$ \sum _{ 2 }^{ \infty  }{  }  $$

Ich hab das nämlich bei meiner Rechnung einfach ignoriert.

Auf

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Achso das meintest du mit dem Startwert. Jo das ist ja auch kein Problem, wenn die Potenzreihe beim Startwert n=0 bis unendlich konvergiert, dann konvergiert sie ja erst recht für n=2 bis unendlich :).

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ok dann ist ja gut. danke in dem Fall :)