Untersuchen Sie die Funktion f(x) = a-a*cos(ax) .

Question

zu der gegebenen Funktion gibt es zwei Teilaufgaben:

1. Untersuchen Sie die Funktion auf Periodizität und Symmetrie.

2. Der Hochpunkt von Ka liegt für D=(o; (2π/a) ) auf einer Kurve. Bestimmen Sie die Kurvengleichung.

Da hier ein Definitionsbereich vorgegeben ist, soll ich die erste Ableitung Nullsetzten und dann nur diesen Bereich betrachten, richtig? Wie untersuche ich Periodizität? Und bei Symmetrie einfach gleichsetzen mit der negativen Funktion?

LG

Answer 1

Die Periodizität der Funktion entspricht der Periodizität der Funktion \(\cos(ax)\).

Die Periode ist \(T = \frac{2\pi}{a} \).

Die Funktion ist Achsensymmetrisch, da \(\cos(ax)\) achsensymmetrisch ist.

Der Hochpunkt im Intervall \([0, \frac{2\pi}{a}] \) liegt bei \( x = \frac{\pi}{a} \). Die Ortskurve der Hochpunkte in diesem Intervall ist somit:

$$ g(x) = 2\frac{\pi}{x} $$

Gruß

Comments

Danke, ist das die Periodizität allgemein der Cosinusfunktion und gilt auch bei dieser Funktion? Habe ich das richtig verstanden?

HAst du den Hochpunkt auch über die erste Ableitung bestimmt? Erde mal versuchen ob ich auf dieselbe Ortskurve kommen kann...

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Es ist die Periodizität der Funktion \( \cos(ax) \) warum es auch die Periodizität der Funktion \( f(x) \) ist, darfst du dir gerne selbst überlegen.

Den Hochpunkt findest du in der Tat auch schnell über die Ableitungen heraus.

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Ich dachte nämlich dass das a vor dem cos auch die Periode ändert... Kannst du vielleicht bitte noch sagen was genau das a vor dem cos macht und was das a vor dem x in Inder Klammer? Thanks

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Das a vor dem Cosinus verändert die Amplitude. Das a im Cosinus vor dem x staucht bzw. streckt die Periode (je nachdem wie groß a ist).

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Okay danke :)

Ist die erste Ableitung = -a^{2}sin(ax) ??

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und wie sehen die einzelnen Schritte aus wenn ich das ganze Nullsetzte?

-a^2sin(ax) = 0 und dann? Durch -a^2 teilen? Bitte zeig mir noch die Zwischenschritte, dann hab ichs auch verstanden ;) THX

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$$ f'(x) = -a^2 \sin(ax) $$

$$ -a^2 \sin(ax) = 0 \Leftrightarrow  sin(ax) = 0 \wedge a = 0$$

$$ sin(ax) = 0 \ \vee  ax\in \left(0, 2\pi \right )\Rightarrow ax = \pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{a} $$

Answer 2

$$f(x+ n \pi)=a-a \cos(a (x+n \pi)), n \in \mathbb{Z}$$


Ist es gleich f(x) ? Was meinst du?