ae^ax = be^bx nach x ausflösen

Question

Aufgabe:

ae^ax = be^bx

Problem/Ansatz:

Habe als erstes be^bx auf die andere Seite gebracht und dann e^ax ausgeklammert:

e^ax (a-be^bx+ax)=0

a-be^bx+ax = 0

-be^bx+ax = -a

e^bx+ax = a/b

bx + ax = ln(a/b)

x(b+a) = ln (a/b)

x= (ln(a/b)) / (b+a)

Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt? In der Lösung kommt x= (ln(b/a)) / (a-b) raus.

Comments

Ah ich glaube ich habe ihn gefunden: Beim ersten Schritt muss es im Exponenten bx-ax sein statt bx+ax? oder?

Answer 1

Aloha :)

Leider hast du den Fehler direkt in der ersten Zeile gemacht. Beim Ausklammern von \(e^{ax}\) muss in den Exponenten in der Klammer ein Minuszeichen stehen:$$ae^{ax}=be^{bx}\quad\big|-be^{bx}$$$$ae^{ax}-be^{bx}=0\quad\big|e^{ax}\text{ ausklammern}$$$$e^{ax}\left(a-be^{bx\pink-ax}\right)=0\quad\big|\div e^{ax}>0$$$$a-be^{bx\pink-ax}=0\quad\big|-a$$$$-be^{bx\pink-ax}=-a\quad\big|\div(-b)$$$$e^{bx\pink-ax}=\frac ab\quad\big|\ln(\cdots)$$$$bx-ax=\ln\left(\frac ab\right)\quad\bigg|x\text{ ausklammern}$$$$x(b-a)=\ln(a)-\ln(b)\quad\big|\div(b-a)$$$$x=\frac{\ln(b)-\ln(a)}{b-a}\quad\text{für }a\ne b$$

Für \(a=b\) stehen links und rechts identische Ausdrücke in der Startgleichung, sodass alle \(x\in\mathbb R\) die Gleichung erfüllen.

Comments

Lieben Dank!

---

Ich habe nochmal weiter gerechnet... ;)

Answer 2

a/b= e^(bx)/e^(ax)= (e^b/e^a)^x

x=ln(a/b)/ln(e^b/e^a)

Answer 3

a/b =  e^bx / e^ax = e^bx-ax = e^{(b-a)x       →  logarithmieren mit ln}

^{ln(a) - ln(b) = (b-a)·x}

^{x =  [ln(a) - ln(b)] / (b-a)}

(a≠b vorausgesetzt; falls trotzdem a=b wäre, würde jedes x die Gleichung erfüllen)

Comments

Da wir für unsere Lösungswege ln(a) und ln(b) verwenden, wären wohl noch die Fälle genau zu betrachten, wo einer oder beide dieser Parameter null oder negativ sind.

---

Falls a·b < 0  (wenn also a und b entgegengesetzte Vorzeichen haben), gibt es jedenfalls keine Lösung für x . Ebenso, falls etwa a=0 und b≠0  (oder umgekehrt).