Aufgabe:
Ich möchte bei der Cauchy-Produktformel den Faktor \( b_k \) ermitteln.
Problem/Ansatz:
mein Ziel war die Untersuchung dieser speziellen Binomialreihe:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n}(-x^{3n}) \phantom{333} |x|<1 \)
Es ist auffällig, dass es sich hier um ein Produkt handelt und da kam mir die Idee der Cauchy Produktformel.
Ich hatte zwei Ansätze:
1. es sollte versucht werden, durch Umformen einen Term \( \dfrac{x^{n}}{n!} \) zu erhalten, also etwa sowas
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n}(-x^{3n}) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-2)...(\frac{1}{3}-n+1))(-x^{2n})( \dfrac{x^{n}}{n!}) \)
also letztlich sollte ein Produkt \( ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!})*(\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_k) \) entstehen,
wobei die Aufgabe darin besteht, das \( b_k \) zu ermitteln.
2. es sollte der Binomialkoeffizient \( \binom{\frac{1}{3}}{n} \) als ein Faktor verwendet werden, also könnte man z.B. einfach mit
\( a_k = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n} = \sqrt[3]{2} \)
ein Produkt \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n}(-x^{3n}) = \sqrt[3]{2} * (\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_k) \) erhalten, wobei dann wiederum das \( b_k \) zu ermitteln wäre.
Im ersten Fall sehe ich jedoch Konvergenzprobleme mit dem ersten Faktor.
