Cauchy Produktformel umkehren?

Question

Aufgabe:

Ich möchte versuchen, die Cauchy Produktformel bei \( f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{k}(-x^{3k}) \) anzuwenden.

Problem/Ansatz:

Die Binomialreihe \( f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{k}(-x^{3k}) \) hat nach dem Summenzeichen die zwei Faktoren \( \binom{\frac{1}{3}}{k} \) und \( (-x^{3k}) \)

Gibt es eine Möglichkeit, diese beiden Faktoren in zwei einzelne Reihen zu bringen, sozusagen die Cauchy Produktformel umzukehren?

Ich würde gern nach geeignetem Umformen die Exponentialfunktion bekommen, also einen Term \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{k}}{k!} \) abtrennen.

Geht sowas prinzipiell?

Comments

Meinst du tatsächlich \((-x^{3k})\) oder \((-x)^{3k}\)? Wenn du ersteres meinst, kannst du das Minus auch vor die Summe scshreiben.

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Mein Ziel war die Untersuchung dieser speziellen Binomialreihe:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n}(-x^{3n}) \phantom{333} |x|<1 \)

Es ist auffällig, dass es sich hier um ein Produkt handelt und da kam mir die Idee der Cauchy Produktformel.

Ich hatte zwei Ansätze:

1. es sollte versucht werden, durch Umformen einen Term \( \dfrac{x^{n}}{n!} \) zu erhalten, also etwa sowas

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n}(-x^{3n}) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-2)...(\frac{1}{3}-n+1))(-x^{2n})( \dfrac{x^{n}}{n!}) \)

also letztlich sollte ein Produkt \( ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!})*(\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_k) \) entstehen,

wobei die Aufgabe darin besteht, das \( b_k \) zu ermitteln.

2. es sollte der Binomialkoeffizient \( \binom{\frac{1}{3}}{n} \) als ein Faktor verwendet werden, also könnte man z.B. einfach mit

\( a_k = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n} = \sqrt[3]{2} \)

ein Produkt \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{\frac{1}{3}}{n}(-x^{3n}) = \sqrt[3]{2} * (\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_k) \) erhalten, wobei dann wiederum das \( b_k \) zu ermitteln wäre.

Im ersten Fall sehe ich jedoch Konvergenzprobleme mit dem ersten Faktor.