Aloha :)
Klammere \(e^{-ax}\) aus:$$0=-ae^{-ax}+4e^{-4x}=e^{-ax}\cdot\left(-a+4e^{-4x+ax}\right)$$Da \(e^{-ax}>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) wird das Produkt nur zu Null, wenn die Klammer zu Null wird:$$-a+4e^{-4x+ax}=0\quad\big|+a$$$$4e^{-4x+ax}=a\quad\big|\div4$$$$e^{-4x+ax}=\frac a4$$Da die \(e\)-Funtion immer positiv ist, gibt es nur für \(a>0\) Lösungen.
Diese finden wir durch Logarthmieren beider Seiten:$$-4x+ax=\ln\left(\frac a4\right)\quad\bigg|\text{\(x\) ausklammern}$$$$(-4+a)x=\ln\left(\frac a4\right)$$Für \(a\ne4\) können wir beide Seiten durch \((-4+a)\) dividieren und erhalten eine Lösung:$$x=\frac{\ln\left(\frac a4\right)}{a-4}\quad;\quad a>0\;\land\;a\ne4$$
Für den Fall \(a=4\) lautet die ursprüngliche Gleichung \(0=0\) und ist für alle \(x\in\mathbb R\) erfüllt.
