Kann Rang bei Matrixmultiplikation größer als der Rang der einzelnen Matrizen werden?

Question

Wenn A und D quadratische Matrizen sind ( beiden keinen vollen Rang), ist es dann möglich, dass A⋅D( Matrixmulitplikation) vollen Rang hat.

Ich würde ja sagen das, das nicht geht! Aber bin mir nicht so sicher, wenn es geht / bzw. nicht geht wie kann man das begründen?

Comments

Ich würde auch sagen, dass das nicht geht.

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Aber wie kann man das begründen , bzw. beweisen ?

Answer 1

Kann man sogar beweisen, dass das nicht geht:

A, D quadratische Matrizen der Größe nxn.

und rang A < n (Das würde schon reichen).
Dann ist dim Kern(A) > 0 also gibt es ein
x aus IR^n mit x ungleich 0 und A*x  = 0

Dann ist auch  D * ( A * x ) = D * 0 = 0
also x aus dem Kern von D*A also Rang(D*A) < n 
                            q.e.d.