negative Reelle Zahlen mit Mal-Verknüpfung eine Gruppe?

Question

Ist  (ℝ¯, *)  eine Gruppe?

(Also alle NEGATIVEN Reellen Zahlen mit der "Mal"-Verknüpfung(Multiplikation))

Bedingungen für eine Gruppe sind doch folgende:

1. Assoziativität: für alle x,y,z ∈ ℝ gilt: x*(y*z)=(x*y)*z

(1) Beispiel: -(1/3) * (-2*(-3)) = (-1/3*(-2))*(-3)

-2 = -2 (✓, da -2=-2 stimmt und -2 aus den reellen Zahlen ist)

2. Existenz des neutralen Elements: für alle x ∈ ℝ‾ gilt e*x=x*e=x (wobei e∈ℝ¯ ???)

(2) Beispiel: (-1/3) * 1 = (-1/3) oder (-2,5) * 1 = -2,5  (✓)

--> neutrales Element ist die 1, denn durch Multiplikation mit einem Element aus der Menge,

kommt wieder dieses Element raus. Also es ändert sich nichts an x.

3. Existenz des inversen Elements: für alle x ∈ ℝ¯ gilt i*x=x*i= e(=neutr. El.) mit (i∈ℝ¯)

(i ist das Inverse zu x)

(3) Beispiel: (-1/3) * (-1/(1/3)) = 1  oder  -2 * (-1/2) = 1  (✓)

(in dem Fall ist das Inverse immer der Kehrwert von x,

aber bei Addition ist es z.B. das Negative einer Zahl)

Meine Frage:

Muss das neutrale Element auch aus der selben Menge sein,

weil in meinem Fall wäre 1 nicht aus der Menge der negativen Zahlen(ℝ¯) ???????

Je nach Antwort bitte ich um Korrektur.

VIELEN DANK !!! :)

Answer 1

Die Multiplikation der negativen Zahlen kann gar keine Gruppe sein, da die Abgeschlossenheit nicht gegeben ist.

-2 * -3 = 6,  das liegt nicht mehr in den negativen Zahlen.

Auch dein Argument mit dem neutralen Element ist richtig. Das neutrale Element muss, wie du gesagt hast, in der Menge selbst wieder liegen.

Comments

Ok. Also muss das Ergebnis immer wieder in der Menge liegen.