Bruch dy/dx=(y-x)/(x-1) vereinfachen, umformen

Question

Gibt es eine Möglicheit den Bruch

(y-x)/(x-1)

zu vereinfachen?

Was meine ich mit Vereinfachen?:

Und zwar habe rechne ich gerade mit DGL und möcht Trennung der Veränderlichen anwenden:

y'=(y-x)/(x-1)  => dy/dx=(y-x)/(x-1)

Ich muss irgendwie die Variablen trennen und damit den Bruch vereinfachen/auflösen... aber wie?

Ich bitte um Hilfe :) Dankö :)!

Comments

(y-x)/(x-1) = y/(x-1) - x/(x-1)

Aber du darfst vermutlich nicht erst

dy/dx = y/(x-1)

und dann

dy/dx = -x/(x-1)

separieren.

Gib vielleicht mal deine Gleichung an. Wer sagt, dass man sie separieren kann?

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@Lu: Warum ist die DGL y'=(y-x)/(x-1) nicht separierbar? Meinst Du damit, sie ist nicht separierbar weil sie inhomogen ist? Die rechte Seite lässt sich doch aber zerlegen:

$$ y'=\frac{y}{x-1}-\frac{x}{x-1} $$

und dann schreiben als:

$$ y'-\frac{1}{x-1}y=-\frac{x}{x-1} $$

setzt man dies jetzt als homogene DGL

$$ y'-\frac{1}{x-1}y=0 $$

und löst diese mit TdV kann man doch danach mit VdK die allgemeine Lösung bestimmen? Zumindest komme ich so auf eine Lösung der DGL. Oder gibt es etwas wodurch sich das entzerren von (y-x)/(x-1) verbietet?

Answer 1

Diese DGL kannst Du nicht mittels Trennung der Variablen lösen, aber durch Variation der Konstanten.

y'  -y/(x-1)= (-x)/(x-1)

usw.

Lösung:

y= C₁ (x - 1) - (x - 1) ln|x - 1| + 1