Wahrscheinlichkeitsrechnung: P(X > 3) und Würfelaufgabe

Question

Schönen Nachmittag Leute ;)

Hab hier zwei Aufgaben aus der Stochastik. Komme da zwar relativ gut klar,doch bleibe bei einer Aufgabe stecken und bei der anderen bin ich mir nicht ganz sicher,ob das so richtig berechnet wurde:

1) X ist normalverteilt mit µ = 2 und σ = 1,5. Und folgende Wahrscheinlichkeit soll berechnet werden:
P( X ≥3 ).

Hab den Ansatz,dass ich bei der Wahrscheinlichkeit auch die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen soll. Wäre die 3 größer gleich X, wäre das kein Problem da die Grenzen des Integrals von 3 bis Unendlich gehen würden.

Müsste hierbei eigentlich nur wissen, welche Grenzen vorhanden sind,dann könnte ich alleine weitermachen. Einmal logischerweise die 3, und dazu noch +∞ ? 

2) Ein Würfel wird n-mal geworfen. Bestimme für n₁ = 100, n₂ = 600 und n₃ = 3000 die Wahrscheinlichkeit dafür,dass die Zahl der Würfe mit der Augenzahl 6 nicht um mehr als 5% vom jeweiligen EW abweicht.

Heißt ja dass die Anzahl und das Signifikanzniveau für den Hypothesentest gegeben ist. Mir fehlt hierbei lediglich die Wahrscheinlichkeit. Kann man die Nullhypothese 1/6 für ''p'' , also für die Wahrscheinlichkeit, verwenden? Den Rest mach ich selbst!
Schöne Grüße! :)

Answer 1

1) X ist normalverteilt mit µ = 2 und σ = 1,5. Und folgende Wahrscheinlichkeit soll berechnet werden: 
P( X ≥3 ). 

Du kannst über das Gegenereignis rechnen 1 - P(X < 3) = 1 - Φ((3 - 2)/1.5) = 1 - Φ(0.6667) = 1 - 0.7475 = 0.2525

Du kannst aber auch rechnen

P(3 ≤ x ≤ ∞) = Φ((∞ - 2)/1.5) - Φ((3 - 2)/1.5) = Φ(∞) - Φ(0.6667) = 1 - 0.7475 = 0.2525

Wie du siehst ist das 2. eigentlich genau das gleiche. Formal ist das nur nicht ganz korrekt weil ∞ keine Zahl ist die man einfach einsetzen darf. Da müsste eigentlich dann der Grenzwert gebildet werden. Um sich das zu ersparen nimmt man das Gegenereignis.

Comments

2) Ein Würfel wird n-mal geworfen. Bestimme für n₁ = 100, n₂ = 600 und n₃ = 3000 die Wahrscheinlichkeit dafür,dass die Zahl der Würfe mit der Augenzahl 6 nicht um mehr als 5% vom jeweiligen EW abweicht. 

Errechne zunächst den Erwartungswert. Dann das Intervall in welchem die Werte um nicht mehr als 5% vom Erwartungswert abweichen. Dann bestimmst du mit der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit des etwas aus dem Intervall eintritt. Bei n = 600 und n = 3000 musst du dabei vermutlich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern, es sei denn du arbeitest mit einem CAS/TR der das rechnen kann.

ACHTUNG !!!

DIE 5% SIND HIER KEIN SIGNIFIKANZNIVEAU, SONDERN NUR EINE PROZENTUALE ABWEICHUNG VOM ERWARTUNGSWERT !!!

---

Gut,danke Dir! :)
Hab das selbe Ergebnis bei der ersten Aufgabe raus. Hab das aber mit dem Zweiten Ansatz versucht, da es m.M.n etwas einfacher zu schreiben ist ( Ist denke ich Geschmackssache ). Und mein Lehrer erlaubt es mir,von daher ist das OK.

Zur zweiten Aufgabe:

Hab da jetzt wie du sagtest den Erwartungswert und die Varianz berechnet. Anschließend hab ich das Intervall berechnet und folgende Werte kamen dabei raus:

für n₁ : μ = 16,67 --- σ ≈ 3,72 > 3 --- Α (binomialverteilt): [ 9,38 ; 23,96 ] und (normalverteilt): [ 15,94 ; 17,39 ]
für n₂ : μ = 100 --- σ ≈ 9,12 > 3 --- Α: [ 99,27 ; 100,72 ] (nur normalverteilt)
für n₃ : μ = 500 --- σ ≈ 20,41 --- Α: [ 499,99 ; 500,01 ] ( nur normalverteilt)

Die Rechnungen, die ich angewendet haben, waren so: 
μ = n * p
σ = √n*p (1-p)
A (binomialverteilt) : μ ± 1,96 * σ 
A (normalverteilt) : μ ± 1,96 * σ / √n

Mir kommt es nur komisch vor,dass bei n₁ der binomialverteilte Bereich schon ziemlich größer ist als der beim normalverteilten. Wo hab ich eventuell einen Fehler gemacht? Oder stimmt die Lösung?