Spanplatten mit den Seitenlängen ist zerbrochen. Möglichst großen Flächeninhalt. (Extremwertaufgabe)

Question

Aufgabe:

Im Baumarkt werden rechteckige Spanplatten mit den Seitenlängen 2,00 m und 3,00 m gelagert. Von einer Platte ist ein dreieckiges Stück mit den Katheten längen 0,15 m und 0,20 m abgebrochen. Um wieder eine rechteckige Platte zu erhalten, sollen Randstreifen abgesägt werden. Wie groß müssen diese sein, damit die entstehende Platte einen möglichst großen Flächeninhalt behält?

Skizze:

Answer 1

die Spanplatte wird im 1.Quadranten angesiedelt.
Die Gerade unten links wird zuerst berechnet.


Als x -Wert kommt 16.76 cm heraus.
300 - 16.76 ist die Länge der Restspanplatte.
In y-Richtung genauso.

mfg Georg

Comments

Das Ergebnis ist nur leider falsch. Habe aber nicht in die Rechnung geguckt da es mir zu viel war. 

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Wie wäre es denn Richtig?

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Siehe meine Antwort und ein wenig Eigenleistung.

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Ok also ich nehme an du hast 3,00m-0,20m gerechnet um auf 2,8 zu kommen und was hast du gemacht um auf (2-3/4x) zu kommen?

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2,80m ist die minimale Länge, die dazugehörige Breite ist 2 m (das maximum). Für jede Verlängerung \(x\) der auszuschneidenen Platte verliert diese  (-0,15/0,2)*x an Breite.
Im Grunde sehr ähnlich zu Georgs Vorgehensweise. Sein Fehler lag übrigens darin, dass er die Einheiten verwechselt hat.

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ähm... Ich habs jetzt mal so weiter gemacht: A=(2,8+x)*(2-(-3/4x+0,15)) also A=(2,8+x)+(2,65+3/4x) und nun muss ich A    Ableiten oder?

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Das ist auf jeden fall falsch gerechnet.

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Dann weiß ich´s auch nicht

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Locker vom Hocker oder es bleibt kompliziert.

Yakyus und mein Ansatz sind identisch.

Bei mir steckt ein Fehler bei

t = 0.15 - 0.75 * x
Das wäre noch kein Fehler aber die Einheit wäre m.

In meiner ersten Gleichung ( in cm angegeben ) muß es anstatt
A = ( 300 - x ) * ( 200 - ( 0.15 - 0.75 * x ) )
lauten
A = ( 300 - x ) * ( 200 - ( 15 - 0.75 * x ) )

Dann stimmen meine und yakyus Ergebnisse überein.

Aber die Ergebnisse treffen in der Realität nicht zu.
( Ergebnis yakyu x = -0.066666 m )

Es ergibt sich ein Maximum bei
Länge in x - Richtung : 2.73 m
Breite in y - Richtung : 2.05 m
Fläche 5.6033 m^2

Das mathematisch korrekte Ergebnis liegt ausserhalb der
größtmöglichen Breite von 2.00 m.

Das heißt : es gibt nur ein sogenanntes Randmaximum von
Länge in x - Richtung : 2.8 m
Breite in y - Richtung : 2 m
Fläche 5.60 m^2

@yakyu
Du hast Brilliant in den Wahnsinn getrieben.
Gut, das bleibt bei der Beschäftigung mit der
Mathematik mitunter nicht aus.
Da muß man durch.
Das härtet ab.
Vielleicht war dir das Ergebnis mit dem " Randmaximum "
bekannt ?
Ich hätte es dann bereits früher bekanntgegeben.

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Ja georg, das Ergebnis war klar, deswegen auch die Angabe des Intervalls in meiner Antwort als Hinweis. Das Ergebnis an sich bringt aber einem in der Aufgabe nichts. Wichtig ist die Vorgehensweise.

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Vielen lieben Dank euch zwei Georg und Yakyu. Ihr habt mir wirklich sehr geholfen! Vieleicht sehen wir uns heute Nachmittag nochmal; hab da noch so eine Extremwertaufgabe die ich nich ganz verstehe! 

Also

LG Thomas

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Nur zu.
Dazu ist das Forum da.

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Bezüglich deinem Wunsch im anderen Beitragsstrang

Wovon wollen wir ausgehen
A = ( 300 - x ) * ( 200 - ( 15 - 0.75 * x ) )
oder
A = ( 2.8 - x ) * ( 2 - 3/4 * x )

Ist dir der Sachverhalt klar ?

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Von A = ( 300 - x ) * ( 200 - ( 15 - 0.75 * x ) )

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Von
A = ( 300 - x ) * ( 200 - ( 15 - 0.75 * x ) )
A = ( 300 - x ) * ( 185  +  0.75 * x )

u * v = u´ * v + u * v
u = 300 - x
u ´= -1
v = 185 + 0.75 * x
v ´ =  0.75

A ´( x ) = (-1) * ( 185  + 0.75 * x )  + ( 300 - x ) * 0.75
A ´( x ) = -- 185 - 0.75  * x + 225  - 0.75 * x
A ´( x ) =  -1.5  * x + 40
Extremwert
-1.5 * x + 40 = 0
x = 26.6 cm

Damit liegt der Extremwert über den vorhandenen 20 cm

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Alles Klar Danke dir! Mein Fehler lag darin, dass ich bei A oben nicht 200-15 gerechnet hab und daher auf andere Zahlen kam aber jetzt ist alles ok. Vielen Dank Georg!

LG Thomas

Answer 2

das schwerste wird ja wohl an der Aufgabe sein, die Flächenfunktion aufzustellen.

$$ A(x) = (2.8 + x)\cdot (2-\frac{3}{4}x) $$

Jetzt kannst du schauen, wo der Flächeninhalt für \( x \in [0, 0.2] \) am größten ist.

Gruß

Answer 3

f(x) = 0.15 - 0.15/0.2·x = 3/20 - 3/4·x

A = (3 - x) * (2 - f(x)) = (3 - x) * (2 - (3/20 - 3/4·x)) = - 3/4·x^2 + 2/5·x + 111/20

A' = 2/5 - 3/2·x = 0 --> x = 4/15 = 0.2667

Das Maximum ist außerhelb des Definitionsbereiches für x. Damit gibt es nur ein Randmaximum für x = 0.2.

Comments

Jepp, ich hatte x = 0,27 m raus. Randextrema ist das passende Stichwort. 

Typische Aufgabe wie Glasscheibe mit abgebrochener Kante (tausend Mal bereits im Internet vorgerechnet).

LG M.