Das ist so ähnlich wie beim Lösen von Gleichungssystemen, wo du unendlich viele Lösungen hast. Da kriegst du ja auch teilweise so etwas wie z.B.
$$ (s-u, s, u)^T $$
oder so raus und kannst in diesem Fall (weil du zwei Variablen hast) zwei linear unabhängige Basisvektoren des Lösungsraums finden. Das kannst du z.B. tun, indem du erst u=0 und s=1 und anschließend s=0 und u=1 setzt.
Bei dem DGL-System oben ist es im Prinzip genauso. Du bekommst die Kandidaten für die Lösungen:
$$ y(t) = \begin{pmatrix} a_0 +(b_0 - c_0)t \\ b_0\\ c_0 \end{pmatrix} \cdot e^t$$
Die Parameter kannst du ja wählen wie du willst.
Und wenn du jetzt wie oben beschrieben erst mal \( c_0 = b_0 = 0\) setzt und \( a_0 = 1\), so kriegst du
$$ \varphi_1 (t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \cdot e^t $$
und analog als weitere Lösungen
$$ \varphi_2 (t) = \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot e^t $$
$$ \varphi_3 (t) = \begin{pmatrix} -t \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \cdot e^t $$
und die sind alle drei linear unabhängig und lösen das DGL-System mit drei Gleichungen (d.h. Lösungsraum hat dim 3) also ist \( \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 \) ein Fundamentalsystem und damit ist \( \Phi (t) = ( \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 ) \) eine Fundamentalmatrix.
Interessanterweise kriegt man so als Fundamentalmatrix genau das Matrixexponential und wenn man dann Variation der Konstanten macht ist dies leicht zu invertieren, einfach \( t \) durch \( -t \) ersetzen (wie in der Musterlösung). Ich hab bei der Aufgabe mit Hauptvektoren und dieser Summenformel gearbeitet (also kein Matrixexponential berechnet) und habe eine etwas andere Fundamentalmatrix, die etwas ekelhafter zu invertieren ist. Über die Jordannormalform kannst du aber auch das Matrixexponential \( e^{tA} \) berechnen und das ist dann deine Fundamentalmatrix.
