Ich habe folgende 2 Aufgaben:
A1)
y´=sin(x)*y+2xexp(-cos(x)) mit 2 Anfangsbedingungen: i)y(0)=2 und ii)y(pi/2)=(pi^2)/4
$$ y_{homogen} = C*e^{-cos(x)} \qquad y_{spez}=x^2*e^{-cos(x)}$$
$$Also\:insgesamt: y=C*e^{-cos(x)}+ x^2*e^-{cos(x)}$$
Anpassen an die AB´s
$$i) y(0)=2\: liefert: \qquad C=2e \qquad y=2e*e^{-cos(x)}+ x^2*e^{-cos(x)} $$
$$i) y(pi/2)=(pi)^2/4\: liefert: \qquad C=0 \qquad y= x^2*e^{-cos(x)} $$
Stimmt das so?
A2)
$$ y_1´= \frac{1}{x}y_1 -y_2+x^2 \qquad y_2´= \frac{1}{x^2}y_1+\frac{2}{x}y_2 \qquad mit \: x\in I:=]o,\infty[ $$
a) $$Zeigen\: sie\: dass\: \varphi^1:=\begin{pmatrix} x^2\\-x \end{pmatrix} \: und \: \varphi^2:=\begin{pmatrix} -x^2log(x)\\x+xlog(x) \end{pmatrix} \: ein \: Fundamentalsystem\: bilden.$$
Die Wronski-Determinante dieser Beiden als Matrix liefert x^3 und mit dem Definitionsbereich von x: offenes Intervall von 0 bis unendlich verschwindet diese nicht also bilden die ein FUS.
b) Allgemeine Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems
Hier hab ich irgendwie ein Problem. Wäre es von der form y1´= 5y1-4y2 +b(x) und so weiter, dann ist klar was zu tun ist, aber ich kann mit der Abhängigkeit der Vorfaktoren von x irgendwie nichts anfangen. Habe Versucht es erst ein Mal als Matrix und Vektoren aufzuschreiben(y´=Ay+B(x) ), aber wenn ich dann zu Eigenwerten und Eigenvektoren der Matrix übergehe verschwindet leider die Abhängigkeit von x nicht und am ende kommt als Eigenvektor (0,0) raus, was man ja niocht will... Wie komme ich denn an die homogene Lösung? Die Spezifische ist ja glaube ich gegeben durch:
$$\int ( \varphi^1 \: \varphi^2 ) \: *b(x) dx$$
