Gegeben ist die Funktion \( f \) durch : \( f(x)=\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{4} x^{2}-3 x \)
(a) Untersuche die Funktion \( f \) auf ihren größtmöglichen Definitionsbereich, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie auf wesentliche Symmetrieeigenschaften (siehe Punkt 1 auf nebenstehender Seite).
(b) Untersuche das Verhalten des Graphen von \( f \) für \( x \rightarrow-\infty \) und \( x \rightarrow \infty \).
(c) Bestimme Art und Lage lokaler Extrempunkte von \( f \).
(d) Ermittle die Koordinaten der Wendepunkte von \( f \).
(e) Zeichne den Graphen von \( f \) in ein geeignetes Koordinatensystem und zeichne sämtliche charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrema und Wendepunkte) ein.
(f) Die Normale im Wendepunkt schneidet den Graphen von \( f \) in zwei weiteren Punkten. Bestimme die Koordinaten dieser Schnittpunkte auf zwei Dezimalstellen genau.
Aufgabe 2:
Führe Teils (a) bis (e) analog durch für \( f(x)=-\frac{1}{24} x^{4}+\frac{3}{4} x^{2} \)
Aufgabe 3:
Gegeben ist die Funktion \( f(x)=3 a x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+3 a x-4 \)
Wie ist a zu wählen, damit die Funktion \( f \) an der Stelle \( x=\frac{1}{2} \) einen Wendepunkt besitzt?
Aufgabe 4:
Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades (Ansatz: \( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \)), die durch den Punkt \( P(2 \mid 0) \) und im Punkte \( P(0 \mid 1) \) einen Wendepunkt mit der Steigung 1 besitzt.
a) Bestimme die gesuchte Funktionsgleichung.
b) Bestimme anhand der Funktionsgleichung Art und Lage der beiden lokalen Extrempunkte.
