Kurvendiskussion ganzrationale Funktionen. f(x) = 1/6 x3 -1/4 x2 - 3x

Question

Gegeben ist die Funktion $f$ durch : $f(x)=\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{4} x^{2}-3 x$

(a) Untersuche die Funktion $f$ auf ihren größtmöglichen Definitionsbereich, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie auf wesentliche Symmetrieeigenschaften (siehe Punkt 1 auf nebenstehender Seite).

(b) Untersuche das Verhalten des Graphen von $f$ für $x \rightarrow-\infty$ und $x \rightarrow \infty$.

(c) Bestimme Art und Lage lokaler Extrempunkte von $f$.

(d) Ermittle die Koordinaten der Wendepunkte von $f$.

(e) Zeichne den Graphen von $f$ in ein geeignetes Koordinatensystem und zeichne sämtliche charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrema und Wendepunkte) ein.

(f) Die Normale im Wendepunkt schneidet den Graphen von $f$ in zwei weiteren Punkten. Bestimme die Koordinaten dieser Schnittpunkte auf zwei Dezimalstellen genau.

Aufgabe 2:

Führe Teils (a) bis (e) analog durch für $f(x)=-\frac{1}{24} x^{4}+\frac{3}{4} x^{2}$

Aufgabe 3:

Gegeben ist die Funktion $f(x)=3 a x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+3 a x-4$

Wie ist a zu wählen, damit die Funktion $f$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ einen Wendepunkt besitzt?

Aufgabe 4:

Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades (Ansatz: $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$), die durch den Punkt $P(2 \mid 0)$ und im Punkte $P(0 \mid 1)$ einen Wendepunkt mit der Steigung 1 besitzt.

a) Bestimme die gesuchte Funktionsgleichung.

b) Bestimme anhand der Funktionsgleichung Art und Lage der beiden lokalen Extrempunkte.

Answer 1

1) D=x∈ℝ

Schnittpunkte mit der x-Achse: y=0

Schnittpunkte mit der y-Achse: x=0

Achsensymmetrie: f(x)=f(-x)   Überprüfen, ob das stimmt.

Punktsymmetrie: f(-x)=-f(x)   Überprüfen, ob das stimmt.

Extrema: f´(x)=0     Die Werte in f´´(x) einsetzen und schauen ob Min. oder Max.

Wendepunkte: f´´(x)=0   und f´´´(x)≠0

3) f´´(0,5)=0   Nach a auflösen.

4) Ansätze:

I.   f(2)=0

II.  f(0)=1

III. f´´(0)=0

IV. f´(0)=0

Extrema: f´(x)=0   Dann in f´´(x) einsetzen und schauen ob Min. oder Max.

Bei wolframalpha.com kann man Ergebnisse kontrollieren.

Viel Spaß!

Answer 2

Ich mache nur mal Aufgabe 3

f(x) = 3·a·x³ - 9/2·x² + 3·a·x - 4

f'(x) = 9·a·x² - 9·x + 3·a

f''(x) = 18·a·x - 9

f''(1/2) = 0

18·a·(1/2) - 9 --> a = 1

Bitte demnächst alle Aufgaben die Unabhängig voneinander sind getrennt einstellen. Das erhöht die Wahrscheinlichkeit das die Aufgaben bearbeitet werden.

Außerdem sollte man sich vorher selber Gedanken machen und eigene Lösungsansätze erarbeiten.