Lösungsmenge bestimmen Ungleichung

Question

wir haben die Aufgabe bekommen:

{x∈ℝ|2x+4|<3} und sollen die Lösungsmenge bestimmen. In der Lösung steht jetzt eine Fallunterscheidung nach 4 Fällen:

1. Fall: |ax+b| < 0

2. Fall: ax+b < c

3. Fall: ax+b < 0

4 Fall: -ax-b < c

Beispiel: | 2x+4| < 3

1 Fall: x > -2;     2 Fall: x< -0,5;  3 Fall: x<-2; 4 Fall: x > -3,5 -> Lösungsmenge: xeR( -3,5 < x < -0,5 )

Jetzt frage ich mich, wieso macht man den 1 und dritten Fall, durch den 2 und 4 bekommt man doch das max. und min. ???

und bei 2x² < 8-6x haben wir einfach nach  x aufglöst und somit die grenzen bekommen, kann mir jemand erklären, wann ich die fallunterscheidung mache und wieso 4, und wieso bei x² nicht?

lg Sarah

Answer 1

bei der einen Aufgabe suchst du ja alle \(x\) für die gilt:

$$ -3 < 2x + 4 < 3 $$

Deswegen brauchst du im Grunde nur die 2 Fallunterscheidungen (Da 2 Ungleichungen überprüft werden müssen)

\( -3 < 2x+4\) und \(2x+4 < 3\)

Bei der zweiten Aufgabe habt ihr auch eine Fallunterscheidung gemacht diese aber nicht gekennzeichnet. Bei quadratischen Ungleichungen und der Anwendung der pq-Formel dreht sich das Ungleichheitszeichen beim verwenden der negativen Möglichkeit der Wurzel um (das entspricht auch einer Fallunterscheidung).

Gruß

Comments

!

aber wie mache ich das nun bei:  |x+2|<|x-5| ist da das schema das selbe, dass ich a+b<c habe, weil ich nun ja 2 beträge habe? kann ich da grundsätzlich sagen, linke seite ax+b und rechts c??

1F: x<-2; 2F -3<0; 3F: x<-2; 4F: 1,5>x

bekomme da dann keine lösungsmenge heraus?!

sorry, bin heute wirklich blonder als sonst.

lG

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Hier kann man ein bisschen tricksen. Grundsätzlich kannst du das ganze auch mit 3 Fallunterscheidungen untersuchen. ( F1: \(x \geq 5 \), F2: \(-2 \leq x < 5\), F3: \(x < -2 \)).

Zur verkürzten version:

Du kannst die Betragsgleichung umschreiben \(x \neq 5 \)

$$ \left | \frac{x+2}{x-5} \right | < 1 $$

$$ \left | \frac{x-5+7}{x-5} \right | < 1 $$

$$ \left |1 + \frac{7}{x-5} \right | < 1 $$

Du weißt sofort, dass \(x< 5 \) gelten muss und brauchst nur noch zu überprüfen, wann zusätzlich noch

$$ -1 < 1 + \frac{7}{x-5} $$

wobei du natürlich aufpassen muss, dass \(x-5\) eine negative Zahl ist !

gilt.

Answer 2

|2·x + 4| < 3

Für den Betrag brauchst du nur 2 Fälle unterscheiden

1. Fall: 2·x + 4 ≥ 0 --> x ≥ -2

2·x + 4 < 3

x < -1/2 und x ≥ -2 --> -2 ≤ x < -0.5

2. Fall: 2·x + 4 ≤ 0 --> x ≤ -2

-(2·x + 4) < 3

-2·x - 4 < 3

- 7 < 2·x

x > -7/2 und x ≤ -2 --> -3.5 < x ≤ -2

Dein 2. und 4. Fall sind eigentlich also keine neuen Fälle sondern die ergeben sich aus dem 1. und 3. Fall.

Comments

Beträge werden obt in 2 Fälle unterteilt. Einen Fall wo der Term unter dem Betrag positiv ist. Dann kann man den Betrag einfach weglassen und einen Fall wo der Term unter dem Betrag negativ ist. Dann nimmt man den Betrag weg und negiert den Ausdruck einfach.

|x| für x >= 0 wird das zu x

|x| für x <= 0 wird das zu -x

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aber wie mache ich das nun bei:  |x+2|<|x-5| ist da das schema das selbe, dass ich a+b<c habe, weil ich nun ja 2 beträge habe? kann ich da grundsätzlich sagen, linke seite ax+b und rechts c??

1F: x<-2; 2F -3<0; 3F: x<-2; 4F: 1,5>x

bekomme da dann keine lösungsmenge heraus?!

sorry, bin heute wirklich blonder als sonst.

lG

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|x + 2| < |x - 5|

Für jeden Betrag gibt es zwei Fälle. Zeichne die dir auf dem Zahlenstrahl ein. Durch überlappung erhält man dann insgesamt 3 Fälle.

1. Fall: x <= -2 

-(x + 2) < -(x - 5)

2. Fall: -2 <= x <= 5

(x + 2) < -(x - 5)

3. Fall: x >= 5

(x + 2) < (x - 5)

Die entstehenden Gleichungen löst du einfach und bildest die Schnittmenge mit der Definitionsmenge des Falls.

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Bei dieser Art Gleichung würde ich aber wie georgborn auch über quadrieren vorgehen. Das ist einfacher.

Answer 3

aber wie mache ich das nun bei:  |x+2|<|x-5|

Eine andere Variante

| x + 2 | < | x - 5 |   | quadrieren
( | x + 2 | )^2 < ( | x - 5 | )^2  | Betragszeichen können entfallen
( x + 2 )^2 < ( x - 5 )^2  | nach x auflösen
x <  3 / 2

mfg Georg

Einfach einmal mit
| -3 | < | 4 |  ausprobieren
( | -3 | )^2 < ( | 4 | )^2
(  -3  )^2 < (  4  )^2
9 < 16  | stimmt
oder
| 3 | < | -4 |
( | 3 | )^2 < ( | -4 | )^2
(  3  )^2 < (  -4  )^2
9 < 16  | stimmt