Betragsgleichung auflösen mit Falluntersuchung

Question

Ich versuche Betragsgleichungen zu lösen.

Ich verstehe nicht wie ich die Fallbedingungen festlegen soll.

Eine Aufgabe lautet: 1/8|x⁴-20x²+64|=x²-4

Die Nullstellen habe ich bereits berechnet: x=4 x=-4 x=2 x=-2

Nun komme ich nicht weiter wie ich die Fallbedingungen aufstellen soll.

8x²-32 = x⁴-20x²+64      falls x?????????????

8x²-32 = -x⁴+20x²-64    falls x ???????????

Comments

gehe ich recht in der Annahme, dass der Betragsterm mit 1/8 multipliziert wird und nicht ebenfalls unter dem Bruchstrich steht?

Besten Gruß

---

Genau, die 1/8 soll mit dem Betragsterm multipliziert werden.

---

An den vier Nullstellen des Betragsarguments wechselt dieses sein Vorzeichen, da es jeweils einfache Nullstellen sind. Somit muss der Definitionsbereich in fünf Intervalle aufgeteilt werden, wobei die Intervalle gleichen Vorzeichens zusammengefasst werden können:

(1) das Betragsargument ist nicht negativ, falls x aus
] -∞ ; -4 ]   oder   ] -2 ; 2 ]   oder ] 4 ; ∞ [   ist.

(2) das Betragsargument ist negativ, falls x aus
 ] -4 ; -2 ]   oder   ] 2 ; 4 ]   ist.

Es sind also zwei Fälle zu unterscheiden.

Answer 1

Hallo Marco,

1/8 * |x⁴-20x²+64|=x²-4 | * 8

|x⁴ - 20x² + 64| = 8x² - 32

Jetzt Fallunterscheidung:

1. Fall

x⁴ - 20x² + 64 ≥ 0

Dies gilt für x ≤ .4 oder -2 ≤ x ≤ 2 oder x ≥ 4

x⁴ - 20x² + 64 = 8x² - 32 | -8x² + 32

x⁴ - 28x² + 96 = 0 | Substitution

z² - 28z + 96 = 0

z_1,2 = 14 ± √(196 - 96) = 14 ± 10

z₁ = 24

z₂ = 4

Resubstitution

x₁ = √24 ≈ 4,9

x₂ = -√24 ≈ -4,9

x₃ = 2

x₄ = -2

Da hat sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen :-(, aber die prinzipielle Vorgehensweise müsste stimmen.

Wolfram Alpha

https://www.wolframalpha.com

gibt als Lösungen aus:

-2

2

-2 * √2

2 * √2

-2 * √6

Der 2. Fall wäre entsprechend

x⁴ - 20x² + 64 < 0

Dies gilt für -4 < x < -2 oder 2 < x < 4.

Falls man hier als Lösung etwas erhält, was außerhalb dieser Bereiche liegt, fallen diese möglichen Lösungen natürlich weg.

Hoffentlich konnte ich trotz des Fehlers ein wenig helfen :-)

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Ich verstehe diesen Teil noch nicht so ganz:

x⁴ - 20x² + 64 ≥ 0

Dies gilt für x ≤ -4 oder -2 ≤ x ≤ 2 oder x ≥ 4

Woran erkenne ich diese Bedingungen?

---

Gern geschehen :-)

Nun, Du hattest ja schon die Nullstellen von

f(x) = x⁴ - 20x² + 64

berechnet.

Da der Graph von f(x) die x-Achse an diesen Stellen jedesmal schneidet (und nicht bloß berührt), wechseln die y-Werte jedesmal ihr Vorzeichen.

Von -∞ bis -4 sind sie positiv (bei -4 gilt f(x) = 0), dann werden sie negativ bis ausschließlich -2 (dort f(x) = 0) usw.

Hier eine kleine Skizze von f(x) = x⁴ - 20x² + 64 (mit gestauchter y-Achse):

Beantwortet das Deine Frage?

Besten Gruß

---

Sehr gern geschehen :-)

Answer 2

Da du 4 Nullstellen hast, kann das ja mit dem Vorzeichen von x⁴-20x²+64
nur so sein
für x<-4 positiv  ( denn für x gegen  minus unendlich geht es ja gegen + unendlich)
    - 4 < x < -2 negativ

   -2 < x < 2  positiv
     2 < x < 4 negativ
        x > 4 positiv
also

8x²-32 = x⁴-20x²+64      falls x????????????? -2 < x < 2  oder x > 4 oder x < -4

8x²-32 = -x⁴+20x²-64    falls x ???????????    - 4 < x < -2 oder       2 < x < 4

Answer 3

und hier auch noch der Graph
blau ist die linke Seite der Gleichung
rot ist die rechte Seite

Answer 4

$$\quad\frac18\vert x^4-20x^2+64\vert=x^2-4$$$$\Leftrightarrow\frac18\vert(x^2-16)(x^2-4)\vert=x^2-4.$$Die Lösungen \(x_{1;2}=\pm2\) sind offensichtlich. Für alle anderen gilt$$\vert x^2-16\vert=8.$$$$\text{(1) }x^2-16=8$$$$\Leftrightarrow x^2=24$$$$x_{3;4}=\pm2\sqrt6.$$$$\text{(2) }x^2-16=-8$$$$\Leftrightarrow x^2=8$$$$x_{5;6}=\pm2\sqrt2.$$

Answer 5

Weg über Quadrieren und 3. Binom:

1/8|x^4-20x^2+64|=x^2-4|*8

|x^4-20x^2+64|=8x^2-32|^2

(x^4-20x^2+64)^2 -(8x^2-32)^2=0

[x^4-20x^2+64+8x^2-32]*[x^4-20x^2+64-8x^2+32]=0

[x^4-12x^2+32]*[x^4-28x^2+96]=0

1.)x^4-12x^2+32=0

(x^2-6)^2=-32+36=4|sqrt

... a)  x^2-6=2  ->-> x_1=2*sqrt2  oder x_2=-2*sqrt2 

Probe mit x^2=8 ->-> |64-20*8+64|=8*8-32 ->-> stimmt

... b) x^2-6=-2 ->-> x_3=2  oder x_4=-2

Probe mit x^2=4 ->-> |16-20*4+64|=8*4-32 ->-> stimmt

2.) x^4-28x^2+96=0

(x^2-14)^2=100|sqrt

.. . c)x^2-14=10  ->-> x_5=2sqrt6 oder x_6=-2sqrt6

Probe mit x^2=24 ->-> |24^2-20*24+64|=8*24-32 ->-> stimmt

.. . d)x^2-14=-10  ->-> x_6=2 oder x_7=-2    ->-> ist identisch mit x_2  und x_4

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{1}{8}\left|x^{4}-20 x^{2}+64\right|-x^{2}+4 \)
\( g(x)=x^{2}-4 \)
\( \mathrm{g} \mid 1: \mathrm{x}=2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \)
\( \mathrm{g} \mid 2: \mathrm{x}=2 \)
:
\( \mathrm{g} / 3: \mathrm{x}=2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \)
+ Eingabe...