Wie berechne ich das relative maximum von 2 e-funktionen

Question

Hallo ich sitze schon seit mehreren Stunden an der folgenden Aufgab:

Die Gerade x=z (mit z größer als 0,5) schneidet die Kurve K im Punkt P und die Kurve C im Punkt Q. Für welchen Wert von z hat die Länge der Strecke PQ ein relatives Maximum.

Die Kurve K hat die Funktion  f(x)=x*e^2-x     und C ist die Ableitung von K also f`(x)=(-x)*e^2-x

 Ich weiß, dass ich jetzt f(x)-f`(x) ausrechnen muss, was ich auch getan habe:  d(x)=(x-2)*e^2-x    aber jetzt komme ich einfach nicht weiter

Ich bedanke mich für die Antworten

Answer 1

f(x) = x·e^{2 - x}

f'(x) = e^{2 - x}·(1 - x)

d(x) = f(x) - f'(x) = e^{2 - x}·(2·x - 1)

d'(x) = e^{2 - x}·(3 - 2·x) = 0

x = 1.5

Answer 2

Hi,

$$ f(x) = xe^{2-x} \\ f'(x) = (1-x)e^{2-x} $$

Punkte: \(P(z|f(z))\) , \(Q(z|f'(z))\)

Abstand zwischen P und Q in abhängigkeit von \(z\): \( d(z) = f(z)-f'(z) = (2z-1)e^{2-z} \).

Ziel: Maximum von \(d(z) \) bestimmen für \( z > 0.5\)

Weg: Differentialrechnung

Gruß

Answer 3

Hi,
die erste Ableitung von \( f(x) = x \cdot e^{2-x} \) ist \( f'(x) = (1-x) \cdot e^{2-x} \) und nicht \( -x \cdot e^{2-x} \)
Des Weiteren gilt \( f(x) - f'(x) = e^{2 - x} \cdot (2x - 1 ) \) und nicht \( (x - 2) \cdot e^{2 - x} \)
Das Maximum von \( \Delta (x) = f(x) - f'(x) \) liegt bei \( x = \frac{3}{2} \) Das Maximum wird bei \( x_{Max} = \frac{3}{2} \) angenommen.
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