Ich habe die folgende Aufgabe:
Der Homomorphismus \(\phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) werde bezüglich der Standardbasen durch die Matrix \(M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}\)
beschrieben. Man berechne die Darstellungsmatrix von \(\phi\) bezüglich der Basis
\(a_1= (0, 1, 1)^t\), \(a_2= (1, 0, 3)^t\), \(a_3= (1, 0, 1)^t\)
des \(\mathbb{R}^3\) und der Basis
\(b_1= (1, 1)^t\), \(b_2= (1, -1)^t\)
des \(\mathbb{R}^2\).
Lösung:
Die Übergangsmatrix von {\(e_1, e_2, e_3\)} nach {\(a_1, a_2, a_3\)} ist
\(A = (a_1, a_2, a_3) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)
und die Übergangsmatrix von {\(e_1, e_2\)} nach {\(b_1, b_2\)} ist
\(B = (b_1, b_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)
Damit lautet die Datrstellungsmatrix \(M'\) des Homomorphismus \(\phi\) bezüglich der Basen {\(a_1, a_2, a_3\)} und {\(b_1, b_2\)}:
\(M' = B^{-1}MA = \frac{1}2{}\begin{pmatrix} 3 & 13 & 5 \\ 4 & -1 & -1\end{pmatrix}\)
Die erste Übergangsmatrix \(A\) ist ja die Darstellung der {\(a_1, a_2, a_3\)} durch die Standardbasis und \(B\) ist dementsprechend die Darstellung der {\(b_1, b_2\)} durch die Standardbasis. Wie kommt man aber auf die Darstellungsmatrix \(M' = B^{-1}MA\)?
Danke für die Antworten.