Darstellungsmatrix und Basiswechsel

Question

Ich habe die folgende Aufgabe:

Der Homomorphismus \(\phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) werde bezüglich der Standardbasen durch die Matrix \(M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 2  \end{pmatrix}\)

beschrieben. Man berechne die Darstellungsmatrix von \(\phi\) bezüglich der Basis

\(a_1= (0, 1, 1)^t\), \(a_2= (1, 0, 3)^t\), \(a_3= (1, 0, 1)^t\)

des \(\mathbb{R}^3\) und der Basis

\(b_1= (1, 1)^t\), \(b_2= (1, -1)^t\)

des \(\mathbb{R}^2\).

Lösung: 

Die Übergangsmatrix von {\(e_1, e_2, e_3\)} nach {\(a_1, a_2, a_3\)} ist

\(A = (a_1, a_2, a_3) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)

und die Übergangsmatrix von {\(e_1, e_2\)} nach {\(b_1, b_2\)} ist

\(B = (b_1, b_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)

Damit lautet die Datrstellungsmatrix \(M'\) des Homomorphismus \(\phi\) bezüglich der Basen {\(a_1, a_2, a_3\)} und {\(b_1, b_2\)}:

\(M' = B^{-1}MA = \frac{1}2{}\begin{pmatrix} 3 & 13 & 5 \\ 4 & -1 & -1\end{pmatrix}\)

Die erste Übergangsmatrix \(A\) ist ja die Darstellung der {\(a_1, a_2, a_3\)} durch die Standardbasis und \(B\) ist dementsprechend die Darstellung der {\(b_1, b_2\)} durch die Standardbasis. Wie kommt man aber auf die Darstellungsmatrix \(M' = B^{-1}MA\)?

Danke für die Antworten.

Answer 1

wenn ein Vektor x durch die a_i dargestellt wird, hast du
x = x1*a1+ x2* a2 + x3*a3  und damit ist x in der Standarddarstellung gerade
                  x1
x =  A  *     x2    
                  x3

Die gegebenen Matrix mal dieses dieses Ergebnis ist dann also die
Darstellung von  φ(x)    [ Der geht übrigens von IR^3 nach IR^2 ]
durch die Basis mit den b1,b2 
um das auf die Standardbasis zurüch zu rechnen, musst du nicht etwa
die Matrix B [ denn mit der rechnet man ja von der Stand.basis nach b1,b2]
sondern die Inverse von B damit multiplizieren; denn diese macht ja genau das
Gegenteil.

Also insgesamt erst   A * x
dann M damit multiplizieren M * A * x
und dann B^{-1} mit dem bisherigen multiplizieren gibt
                                    B^{-1} *M * A * x
und was dabei entsteht,  ist die Darstellung von  φ(x) durch die
Standardbasis.

Comments

Danke, ich habe es verstanden.

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Noch eine Frage: Die Matrix \(A\) erhält man doch, indem man die Vektoren \(a_1, a_2, a_3\) als Linearkombination von \(e_1, e_2, e_3\) schreibt, oder? Also:

\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) = \(0\begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \) + \(1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + \(1\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) = \(1\begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \) + \(0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + \(3\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) = \(1\begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \) + \(0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + \(1\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 

Dann ist die Übergangsmatrix: \(\begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end {pmatrix}\)

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Na ja, wenn du das Ergebnis betrachtest, siehst du ja:

Die Spalten der Matrix sind genau die drei Vektoren a1, a2,,a3a1,

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In diesem Fall ist das ja klar, da es sich um die Standardbasis handelt, aber bei anderen Basen kann ich ja so vorgehen.

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Ja genau, da muss man dann u.U. etwas mehr rechnen.